等質空間上の球関数に対する母関数、およびその表現論における位置付け

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V.Bargmannは次のことを示した。n次元ユークリッド空間R^n上のL^2空間と、ある内積を持ったC^n上の正則関数からなるヒルベルト空間との間に、ユニタリな積分作用素が定義でき、しかもその積分核はエルミート多項式の一種の母関数として捉えられる。それでは、かってに与えられた直交多項式系について、エルミートの場合と同じことが考えられるだろうか。すなわち、適当なL^2空間および正則関数からなるヒルベルト空間があって、それらの間にユニタリな積分作用素が定義でき、かつその積分核は、もとの直交多項式系の一種の母関数として捉えられるか。私は以前、等質空間SO(n)/SO(n-1)上の帯球関数系およびU(n)/U(n-1)上の帯球関数系に対し、この疑問が肯定的に解決できることを示した。この問題に関して、私は次のことがらを、当該年度のテーマとした。一般の等質空間上の帯球関数系において、先に述べた性質を持つ母関数を与えることは、群論的および幾何学的にどのような意味を持つのか。この点について、母関数と、正則関数からなるヒルベルト空間の重み関数との間の関係を導くことができた。