反応拡散方程式系の定常解の安定性の研究

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現象の出現メカニズムを理解するために,しばしば反応拡散方程式が用いられ,定常解の存在,安定性,分岐構造などが調べられる.単独方程式の場合には,比較定理を用いることにより,定常解の存在とその空間的様相を容易に調べることができ,定常解の空間的様相と安定性との間には深い関係があることがわかる.さらに,ある非線形性をもつ方程式に対しては,大域的アトラクタはすべての定常解の不安定多様体の和集合として表現できることも知られている.これらは,方程式の解の精密な漸近挙動を理解するためには,存在するすべての定常解とそれらの安定性を調べることが重要であることを示唆している.連立方程式の場合には,一般には比較定理が成立することは期待できない.このことが,定常解の存在や安定性などの解析を複雑なものにする一つの要因となっている.本研究では,反応拡散方程式系の解の精密な漸近挙動を調べる最初の段階として,比較定理が成立する方程式系に着目し,競争関係にある2種の生物の固体群の動態を記述するLotka-Volterra競争系について考察し,定常解の空間的様相と安定性との間の関連性を調べ,定常解の大域的な分岐構造を解明することを目標とした.その結果として,系がある性質をもつ場合には,Chafee-Infante(1974/75)によって示された単独の反応拡散方程式の定常解の分岐構造と類似した構造をもつことがわかった.今後の課題としては,周期的解やさらに複雑な挙動を示す解の存在および非存在を調べ,解の精密な漸近挙動を解明することである.