物理学および工学と関連する非線型偏微分方程式の研究

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1.曲率流方程式の研究曲率流方程式を引き続き論じた.パターン形成の観点から,スパイラル形の解が存在するのかどうかを調べて,ほぼ決定的な結果を得た.拡張型の自己相似解のクラスにおいてのみ,これらスパイラル形の解が可能である.しかも,それら解の回転数は有限であり,したがってアルキメデスら線ではあり得ない.このことは,BZ反応などの実際現象にあらわれるスパイラル形パターンの解析に極めて有効な知見を与える.それら現象の理解のため,曲率を含んだ複雑な非線型方程式が提出されている.現在,これら方程式の解析を強力に進めている.2.時間無限大での解の挙動の研究この課題においても,今年度は重要な進歩があった.MHD方程式は,ナヴィエ・ストークス方程式を含んだ複雑な方程式であるが,荷電粒子の運動をよく記述し,応用性の極めて高いものである.このMHD方程式の解は,2次元の場合,その時間無限大での挙動が,有限モードの有限個の点における情報のみで完全に決定される,というのが主結果である.アトラクタの次元有限性は古くから知られていたが,その特徴付けを、ほぼ完全に与えたことになる.現在,他の方程式への適用を考察中である.