整教論におけるフラクタルの研究

パスカルの三角形を整数を係数とする無限次行列と考えて、その成分を素数pを法として剰余類をとれば有限体の元を成分とする無限次行列が得られる。この行列はきれいな自己相似性をもっている。これが成り立つ仕組みを調べてまだ知られていない何か面白い現象を探し出すことが研究の目的である。既にある研究からは数論をよく知るものとしてはまだ調べ尽くされていないという印象をえた。実際調べてみるといくつか興味ある結果も得られ、さらに調べる価値のある課題も見つけることができたので報告する。(1)パスカルの三角形の特徴付けのひとつはその成分が2項係数という基本的な量で書かれていることにある。これをガウスの2項係数と呼ばれる整数係数の多項式で置き換え、得られた多項式を成分とする行列を多項式環の極大イデアルを法として剰余類をとれば有限体の元を成分とする無限次行列になる。これは最初に考えた行列の自然な拡張であるが、これも自己相似性というよい性質をみたすことが証明できた。(2)パスカルの三角形の特徴付けの二つめは平面漸化式にある。初期条件は1行と1列で与えられるがそれを周期1の数列とした場合がパスカルの三角形になる。そこで有限体を成分とする行列で平面漸化式をそのままで初期条件として周期を一般にした数列を与え、そうしてできる無限次行列を考察することも自然な拡張である。これらの行列の行ごとは周期的な数列でその周期の規則的な増加が自己相似性の背後にあるが、その規則がこの一般化した行列でも成り立つことが証明できた。(3)上で述べた性質を証明するには数列には成分を係数とするべき級数、行列には成分を係数とする2変数のべき級数を対応させて、代数的な枠組みに持ち込むことが有効な手段であることがわかった。法として素数のべきを考察すことも可能になる。パスカルの三角形から得られる自己相似性をもつ有限体上の無限次行列からさらに広がる世界があり、更なる研究に値する。

パスカルの三角形を整数を係数とする無限次行列と考えて、その成分を素数pを法として剰余類をとれば有限体の元を成分とする無限次行列が得られる。この行列はきれいな自己相似性をもっている。これが成り立つ仕組みを調べてまだ知られていない何か面白い現象を探し出すことが研究の目的である。既にある研究からは数論をよく知るものとしてはまだ調べ尽くされていないという印象をえた。実際調べてみるといくつか興味ある結果も得られ、さらに調べる価値のある課題も見つけることができたので報告する。(1)パスカルの三角形の特徴付けのひとつはその成分が2項係数という基本的な量で書かれていることにある。これをガウスの2項係数と呼ばれる整数係数の多項式で置き換え、得られた多項式を成分とする行列を多項式環の極大イデアルを法として剰余類をとれば有限体の元を成分とする無限次行列になる。これは最初に考えた行列の自然な拡張であるが、これも自己相似性というよい性質をみたすことが証明できた。(2)パスカルの三角形の特徴付けの二つめは平面漸化式にある。初期条件は1行と1列で与えられるがそれを周期1の数列とした場合がパスカルの三角形になる。そこで有限体を成分とする行列で平面漸化式をそのままで初期条件として周期を一般にした数列を与え、そうしてできる無限次行列を考察することも自然な拡張である。これらの行列の行ごとは周期的な数列でその周期の規則的な増加が自己相似性の背後にあるが、その規則がこの一般化した行列でも成り立つことが証明できた。(3)上で述べた性質を証明するには数列には成分を係数とするべき級数、行列には成分を係数とする2変数のべき級数を対応させて、代数的な枠組みに持ち込むことが有効な手段であることがわかった。法として素数のべきを考察すことも可能になる。パスカルの三角形から得られる自己相似性をもつ有限体上の無限次行列からさらに広がる世界があり、更なる研究に値する。