双曲　３　次元多様体の指標多様体とそのゼータ関数の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度は数論的双曲閉３次元多様体の場合についての計画していた研究が完了した．また当初の計画より更に研究を進めることが出来，期待以上の成果が得られた．具体的には，本研究計画において数論的双曲閉３次元多様体の SL_2 指標多様体のゼータ関数がその双曲３次元多様体のトレース体のデデキントゼータ関数になることを予想しており，平成26年度の研究でいくつかの条件の下でこの予想が成り立つことを示していた．今年度の研究によりこれらの条件を外すのみならず，（数論的とは限らない）一般の双曲閉３次元多様体について SL_2 指標多様体のゼータ関数がその双曲３次元多様体のトレース体のデデキントゼータ関数になることを示した．また更に研究を進め，PSL_2 指標多様体の場合にはそのゼータ関数がその双曲３次元多様体の不変トレース体のデデキントゼータ関数になることを示した．これにより数論的双曲閉３次元多様体に関して， s=2 での特殊値が双曲３次元多様体の双曲体積を用いて表されることが分かった．指標多様体と双曲体積の関係に関しては，結び目の補空間の場合について SL_2 指標多様体から定まる A 多項式のマーラー測度との関係が具体的な場合に確認されていた．今回得られた PSL_2 指標多様体と双曲体積の関係は一般の数論的多様体に関して得られたことからも非常に意義深いものであると考えられる．本研究内容については論文の形にしてプレプリントサーバー arXiv にて既に公開した．