Adaptive Regularisierung und Diskretisierung bei nichtlinearen Variations- und Steuerproblemen

非线性变分和控制问题中的自适应正则化和离散化

• 批准号: 5202748
• 负责人: Professor Dr. Christian Großmann (†)
• 金额: --
• 依托单位: Institut für Numerische Mathematik
• 依托单位国家: 德国
• 项目类别: Research Grants
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 德国
• 起止时间: 1998-12-31 至 2006-12-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/5202748?language=en
• 关键词: Adaptive; Regularisierung; und; Diskretisierung; bei

Numerische Verfahren zur Behandlung von nichtlinearen Variations- und Steuerproblemen erfordern einerseits eine endlichdimensionale Approximation der Ausgangsaufgabe und andererseits ein geeignetes Lösungsverfahren für die dabei erzeugten finiten Hilfsaufgaben. Darüber hinaus sind praktisch relevante Probleme, wie z.B. Aufgaben parabolischer Randsteuerung, oft schlecht gestellt. Dies erfordert eine zusätzliche Einbeziehung von Regularisierungstechniken in den Lösungsprozeß. Für jede der genannten Teilprobleme Diskretisierung, Numerik endlichdimensionaler nichtlinearer Optimierungsprobleme und Regularisierungstechniken gibt es umfangreiche Untersuchungen und entsprechende Spezialliteratur. Bei näherer Analyse der Situation zeigt sich jedoch, daß der Gesamtkomplex in einheitlicher Betrachtungsweise nur begrenzt behandelt wird. Eine effiziente Numerik nichtlinearer Variationsprobleme erfordert jedoch wesentlich einen detaillierten Abgleich der einzelnen Verfahrenskomponenten untereinander. Mit dem vorliegenden Forschungsvorhaben wird angestrebt, einen Beitrag zur numerischen Analysis der Gesamtaufgabe zu erbringen. Schwerpunktmäßig stehen im vorliegenden Forschungsprojekt Untersuchungen zur Konvergenz von lokalen, quadratischen Approximationsverfahren (SQP-Methoden) sowie freien Minimierungstechniken angewandt auf durch Straf-Barriere-Methoden erzeugte Hilfsprobleme im Mittelpunkt. Dabei wird angestrebt, speziell das Verhalten dieser Methoden bei simultaner Änderung von Diskretisierungs- und Einbettungs- parametern (Straf-, Barriere- und Regularisierungsparameter) bei einer begrenzten Anzahl von Iterationsschritten in jedem Diskretisierungs- und Einbettungsniveaus zu analysieren. Bei diesen Untersuchungen kann auf Verbindungen zu Gitterunabhängigkeitsprinzipien (mesh independence principles) des Newton-Verfahrens wie auch zu Inneren-Punkt-Methoden der Optimierung aufgebaut werden. Als Ausgangspunkt liegen hierzu bereits Erfahrungen des Antragstellers auf diesen Gebieten vor.

Numerische Verfahren zur Behandlung von nichtlinearen Variations- und Steuerproblemen erfordern einerseits eine endlichdimensionale Approximation der Ausgangsaufgabe und andererseits ein geegnetes Lösungsverfahren für die dabei erzeugten finiten Hilfsaufgaben.这是一个相关的实践问题，就像z.B.抛物线控制器，经常被损坏。Dies erfordert eine zusätzliche Einbeziehung von Regularisierungstechniken in den Lösungsprozeß.对于一般的Teilprobleme retisierung，Numerik endlichdimensionaler nichtlineer Optimierungsprobleme und Regularisierungstechniken gibt es umfangreiche Untersuchungen und entsprechende Spezialiteratur.在分析当前形势的基础上，我们必须对一个复杂的内部冲突加以处理。Eine effiziente Numerik nichtlinerer Variationsprobleme erfordert jedok wesentlich einen detaillierten Abgleich der einzelnen Verfausskomponenten untereinander.尽管这些研究成果令人担忧，但仍需要进行数值分析。Schwerpunktmäßig stehen im vorliegenden Forschungsprojekt Untersuchungen zur Konvergenz von lokalen，quadratischen Approximationsverfahren（SQP-Method）sowie freien Minimierungstechniken angewandt auf durch Straf-Barriere-Method erzeugte Hilfsprobleme im Mittelpunkt. Dabei wird angestrebt，speziell das Verhalten dieser Methoden beijer Änderung von Schematisierungs- und Einbettungs- parametern（Straf-，巴里埃- und Regularisierungsparameter）beijer Anzahl von Iterationsschritten in jedem Schematierungs- und Einbettungsniveaus zu analysieren.这一研究可以通过牛顿-牛顿法的网格独立性原理（Gitterunabhängigkeitsprinzipien）来实现，也可以通过优化韦尔登的内点方法来实现。这是一个很大的问题，因为它是一个非常复杂的问题。