漸近理論に関する研究

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従来、統計的漸近理論において、高次の漸近有効性を論じる場合に、推定量のクラスは漸近中央値不偏性をもつ推定量に限定されていた。この条件を満たさない推定量すなわち漸近的な偏りをもつ推定量のクラスを考察することは、対象となる推定量の範囲が大きく広がるという意味で意義がある。この研究において、まず高次の完備性の概念を用いて最尤推定量の性質について検討した。より詳しくは次のようになる。2次の漸近的な偏りαをもつ推定量でその漸近分布が2次の次数までEdgeworth展開可能である推定量のクラスを【B_2】(α)とする。【θ_n】を【B_2】(α)において漸近集中確率が0(1)まで最も大きいという意味で2次の漸近的有効であると仮定する。このとき最尤推定量【θ_(ML)】を対数尤度関数の2次の導関数【Z_2】(θ)を用いて【θ_n】と同じ漸近的偏りをもつように修正したものを【θ(^*_(ML))】とすれば【θ(^*_(ML))】が【θ_n】より漸近集中確率が0(【n^(-1)】)の次数まで大きいという意味で(【θ_(ML)】,【Z_2】(【θ_(ML)】)が3次の漸近的完備であることが示された。さらにこの結果は多母数の場合にまで拡張された。また推定量の2次の漸近分布を理論的に求め、数値実験による漸近的比較も試みられた。次に遂次推定における漸近有効性について考察した。標本の大きさをnとするときV=【E_θ】(n)とおく。V→∞のときθの推定量【θ_n】が1次、2次の漸近有効性をもつようにnを決定する問題を考える。まず1次の漸近有効性については、与えられたVに対して【√!ν】(【θ_n】-θ)の漸近分布が正規分布N(0,1/I(θ))ならば、V→∞のときn/vが1に確率収束するようにnを決めれば達成される。ただしI(θ)はFisher情報量である。2次の漸近有効性については、θの漸近不偏推定量の漸近分散のBhattacharyya限界を求め、適当な停止規則を決めて、2次の漸近不偏性をもつように修正した最尤推定量【θ(^*_(ML))】の漸近分散は、その限界に一致することすなわち【θ(^*_(ML))】は2次の漸近有効性をもつことが示された。