リ-マン多様体のスペクトラムについて

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研究目的はスペクトラムを保存したとき、局所対称性はどの程度保存されるかであった。(M,G)を次元mのコンパクト向きづけ可能リ-マン多様体、△p=dδ+δdをM上のp形式に対するラプラシアンとする。m=3でかつ関数と1形式に対するスペクトラムを保存するならば局所対称性は保存されることはこの研究以前に研究代表者自身によってわかっていた。そこで△^r_p=-g^<ij>V_iV_jをreduced又はBochnerラプラシアンとし△p(ε)=ε△p+(1-ε)△^r_pをgeneralized ラプラシアンとする。このgeneralized ラプラシアンを用いることによって初年度は次を得ることが出来た。(1)m=3でかつ1形式に対するスペクトラムを保存するならば局所対称性は保存される。(2)m=3またはm26でかつ2形式に対するスペクトラムを保存するならば局所対称性は保存される。当該年度はこれらの結果のさらなる一般化を試み、微々たる前進であるが、色々な、情報収集と資料整理などのおかげで次を得ることが出来た。(3)M,M^1をアインシュタイン、m≠18かつRijknR^<ji>uvR^<knuv>と1形式に対するスペクトラムを保存するならば局所対称性は保存される。(4)M,M^1をアインシュタインかつ2形式に対するスペクトラムを保存するならば局所対称性は保存される。これらにはアインシュタイン、次元等の仮定がある。それらを取り去ることができるのか、できないかについてを今後の課題にすることはいうまでもないが、ひれまでの結果は漸近展開の4項目までの係数しか用いていない。5項目以降の係数を求めることと、それに代わる判定条件をみつけることを試みることも今後の課題としたい。