無限次元群及び離散群のユニタリ表現の研究

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1.各分担者との協力により、主として研究代表者が積み重ねた研究実績は、(1)リ-ス積(wreath product)として得られる群の既約ユニタリ表現の構成、および(2)それを用いての、無限置換群S_∞の既約ユニタリ表現の構成、がある。いずれも、従来は何らかの有限性を仮定して行われていた研究を、本質的に無限的なものをはじめから取り入れた手法で行ない、重要な発展を見たものである。2.現在は、さらに(1)(2)の結果を拡張することを試みている。3.その他に、全く異なる型の群に(1)(2)の手法や結果が応用できないかを調べている。例えば、多様体Mの微分同相写像のなす群Diff(M)の既約表現の構成に応用するには2通りの考え方がある。1つはこの群の部分群としてリ-ス積型になりかつsaturatedに埋め込まれているものを探し、その部分群のstandardな既約ユニタリ表現を誘導すること。もう1つは、Mを可算無限個直積した。Z=M^∞に左からS_∞を働かせ、右からG=Diff(M)を働かせて、GのM上の準正則表現の無限個のテンソル積をS_∞の作用によって分解する、もしくは分解したことを想定して既約表現を構成すること、である。現在、後者の方がやや進展を見ている段階である。4.研究分担者は、Diff(M)の研究に役立つものとしては、Mが対称有界領域のときに、M上の微分作用素のうち不変なもののなす環を考え、その代数的生成元素を、Mの分類に依らず一般的に書き下すことを、成しとげた。5.研究分担者、山下は、Mの構造を保存する作用の集まりとして現れて来る、半単純リ-群の表現についてその一般化されたwhittaker 模型の存在、非存在や、模型の構成、について研究した。