無限離散群の構造と表現の研究

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1.自由群には,これといった構造が無いことが特徴である。それにも拘らずFigaーTalamanca等の一連の研究を見ると,良い視点を選ぶと,その群の“dual"である既約ユニタリ表現の適当な部分族には,はっきりとした構造が現れる。彼等の場合は,SL(2,R)のdualとの本質的な類似を見出した訳である。Ol'shanskiiによるI型の“large"groupsというのも,離散群に如何なる位相を導入して,連続表現を考えるかという位相的手段により構造が導入され,I型の位相群が得られていると把えられる。2.我々はこれらの仕事に啓発され乍らも異なった視点から研究を進めている。簡潔に言うと,離散群にあまりきつい「構造」を導入するとI型にまでなってしまう(上述)。しかしそれでは離散群の本質的な部分を取逃がしている筈である。従って離散群の離散群たる由縁はもっと混沌としたものの中に構造を入れる努力によって理解できる。この考え方に沿って,まず「できるだけ多くの既約表現を組織的に構成する」という問題に取組んだ。3.成果の第一は,無限Wreath productである離散群の既約ユニタリ表現の構成法を与えたことである。これは有限のときには生じなかった現象をとらえたことになっている。4.成果の第二は,無限対称群に対してその既約ユニタリ表現の新しい大きな族を構成したことである。その方法には上の3.の結果が必要であった。有限対称群の表現論の豊富さと同等の数半的豊富さが含まれていることが期待されるが,それを発堀して行くのは今後の課題である。