多様体上の非線形解析

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本研究プロジェクトは、多様体上の非線形解析を総合的視野に立って行うことを企図した意欲的なもので、(1)多様体の非線形構造の代数的、幾何的、位相数学的方法による研究;(2)多様体上の実及び複素解析学の非線形理論の深化と整備;(3)多様体上の非線形微分方程式の定性的研究を重点課題としたが、研究代表者、分担者ならびに研究組織の主要な構成員の活発かつ精力的な研究活動によって、(i)リ-マン多様体の等角的埋め込みの可能性;(ii)調和空間上のポテンシアル論の展開;(iii)ハ-ディ空間上のポアンカレ級数作用素の構造の解析;(iv)局所凸空間におけるベクトル値測度論・積分論;(v)バナッハ多様体上の非線形半群の生成と特徴付けに関する理論とその応用;(vi)微分幾何学に現われる非線形偏微分方程式の解の定性的理論;(vii)生物学、生態学に現われる非線形非定常微分方程式と関連する力学系の漸近理論の建設など多様な問題に関して多くの意義ある成果が得られ、本研究の所期の目的はほぼ完全に達成された。成果の具体例として研究代表者の周辺で得られた成果の一部を紹介する。(a)毛管現象の方程式や平均曲率曲面の方程式を含む準線形楕円型方程式▽.(g(1▽u1)▽u)=f(|x|,u)の正値全域解の漸近挙動を解析し、指定された漸近挙動を持つ解が存在するための条件を確立したこと;(b)指定されたガウス曲率を持つ曲面の方程式を拡張したモンジュ・アンペ-ル型方程式det(ux_ix_j)-α△u=f(|x|,|▽u|)が非有界な正値全域解を持つための条件を不動点定理を用いて求めたことj(c)非線形中立型関数微分方程式(x(t)-(t)x(h(t)x(t(t))^<(n)>=f(t,x(g(t)))によって支配される力学系の振動性を特徴付けに関する新しい知見を得たこと。