非線形微分方程式の特異解の統一的研究

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私は最近、Jaros教授と共同で、2階の特異非線形微分方程式に対してブラックホール型及びホワイトホール型という2種の新型の特異解が存在するという現象を発見して学会に報告したが、本研究の主要な目標は、これらの特異解を生成する非線形のメカニズムを解明することであった。本研究組織はJaros教授を海外共同研究者として加え、良いチームワークで精力的に研究を行った。先ず、単独の2階微分方程式に対する問題を同値な1階の2次元微分方程式系に対する問題に翻訳して考察するというアイデアが提供され、その方向の様々な計算が実行された結果、ブラックホール型の解とホワイトホール型の解の両方とも、ある1階の非線形微分方程式系の消滅特異解として現れ、どちらの型になるかは方程式系を定める非線形関数の非線形度に依存して決定されるという注目すべき事実が証明された。次に我々は、この結果を一般次元の1階非線形微分方程式系に拡張することを試み、その消滅特異解が高階の単独特異非線形微分方程式の様々なタイプのブラックホール型とホワイトホール型の特異解を生成するという新しい知見を獲得することが出来た。上記の結果は、2篇の論文として纏められる(論文化の作業が進行中である)が、得られた成果は、今まで文献に現れたことのない新型の特異解と従来から知られている特異解との"自然な"関連を説得的に記述するもので、理論応用の両面から興味を惹くものと思われる。特異解の研究を補強するために、我々は、特異解を持たない非線形微分方程式の定性的研究にも関心を持った。この方向の研究も順調に進行し、半分線形方程式の正則変動解の存在に関する数篇の論文が完成した(一部は既に受理されている)。本研究が萌芽研究として成功を収めたことを確信し、助成に心より感謝する。