非線形微分方程式の定性的研究

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本研究は、研究分担者相互の密接な連絡協議に基づき、研究代表者の積極的な主導の下で実施された。本研究に支給された補助金は、主として、三つの中規模研究集会に対する助成と、代表者を含む多数の研究者の他研究機関への研究打合せ旅行に対する補助の形で使用された。本研究に参加した研究者全員は、的確な問題意識と旺盛な意欲をもって、多方面に亘る非線形微分方程式の解の定性的研究に精力的に従事し、理論の各方面において多くの新しい知見と有意義な研究結果を産み出した。得られた成果は、今時代の脚光を浴びている非線形解析学の理論の進展に対する重要な貢献であり、国際的にも注目を集めるに違いない。このように本研究が計画通り順調に進行し、所期の目標を十分に達成できたと報告できることは、研究代表者の大きな喜びである。以下多くの研究成果のうちで研究代表者の周辺で得られた特筆すべきものの概要を述べる。常微分方程式の関係では、振動係数をもつ2階のEmdenーFowler型方程式が漸近的に線形な非振動解を保有するための極めて精密な条件が求められた。これは改良の余地のない最終的な結果である。関数微分方程式の関係では、中立型方程式に対して、従来困難と思われていた振動解の新しい構成法が開発され,一方で非振動解の存在と漸近行動を解明するための巧妙な不動点定理利用法が考案された。偏微分方程式の分野では、ある種の高階非線形楕円型方程式に対して、正値全域解を構成するために所謂準上級。準下級関数の方法が適用可能であることが示された。これは従来の定説を覆す画期的な結果である。さらに高階非線形楕円型方程式の対称な正値全域解の構造にメスを入れる研究が行われ、それが対応する高階常微分方程式の非振動解の構造と酷似しているという興味深い事実が発見された。これは常微分方程式論と偏微分方程式の緊密な関係を暗示する重要な知見である。