非線形微分方程式の数理解析

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本研究は、研究代表者と研究分担者の緊密な協力の下で順調に進行し、研究課題に関する多くの重要な結果が得られ、当初の目的は略達成された。以下その概要を研究代表者の成果を中心に紹介する。本研究において重点的に考究された非線形微分方程式に関する問題は、大別すると、I.非線形常微分方程式(2階及び高階)に対するア.有限区間における境界値問題(固有値問題を含む)イ.無限区間における非振動解の漸近挙動(分類と構成)ウ.無限区間における振動解の零点分布の法則性II.非線形楕円型偏微分方程式(2階及び高階)に対するア.有界領域における境界値問題(固有値問題を含む)イ.非有界領域における正値解の分類と構成ウ.非有界領域における解のnodal domainの形状と分布状況であったが、研究に著しい進展が見られたのは、half-linearと呼ばれる2階常微分方程式に対する問題Iとnonlinear biharmonicと呼ばれる4階の楕円型偏微分方程式に対する問題II-イである。half-linear方程式に対しては、有限区間における固有値問題を様々な境界条件の下で解いて固有関数列が整然と存在することを証明し、無限区間における非振動解の中で特定の漸近挙動を示すものの存在を特徴付けることに成功し、更に適当な条件の下で無限区間における振動解の零点の漸近分布公式が求められることを実証した。他方、nonlinear biharmonic方程式に関しては、対称構造がある場合には球対称な全域解(様々な増大度を有する)が不動点解析で得られること、更に対称構造がない場合には球対称でない有界な全域解が所謂supersolution-subsolution法を用いて構成されることを示した。これらの結果はすべて新しく、出版公表されれば、非線形微分方程式の定性的理論の進展に寄与するものとして相当な評価が与えられるに違いない。本研究に対する研究費補助金の交付に深く感謝する。