擬リーマン多様体の部分多様体と調和写像の研究

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1.与えられた平均曲率を持つユークリッド空間内の回転面を具体的に与える剱持の定理がある。同様の方法を用いて、ミンコフスキー空間内に与えられた平均曲率をもつ回転面を具体的に作った。2.ワイヤストラスの表現公式を用いて、ミークスとオリベイラは3次元ユークリッド空間内の完全な極小曲面で、向きづけ不可能で種数1のものの例が与えられている。そのような極小曲面で全曲率が有限で端が1つのものを完全に決定した。端が2つになると急に複雑になる。そのような曲面が存在する条件は得たが、具体的に構成するに至っていない。全曲率が-10πのとき、-14πのとき等簡単なときを調べてみたいと思う。端が3以上のときは一般的な条件が求められない程複雑である。しかし、全曲率-10のときでもそのような場合があるので、なんとか調べたい。3.向きづけ不可能で種数が2以上の極小曲面は例さえも与えられていない。種数が2で端点が1つのものはヤコビーの楕円関数を用いて一般的な型を決定した。端点が2つ以上のものは大変複雑になる構成の一般原理を確立した。さらに種数が3以上の場合も構成できるめどがついた。4.向きづけが不可能な極小曲面のグラフはほとんど描かれていない。特に、端点が2つ以上の場合、種数が2以上の場合非常に多種多様な極小曲面が構成できる。これらの曲面のグラフをコンピーター・グラフィクスを用いて描いている。グラフを調べることによって、この多種多様の曲面の分類の手ががりを得たいと思っている。5.上の2及び3で確立した極小曲面の構成法はもっと一般のリーマン面の極小そう入にも適用できる。今後はそれについても試みたい。