ミンコフスキー空間内の曲線・曲面の生成的微分幾何

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今年度に実施した研究では,4次元ミンコフスキー空間内に,ローレンツ幾何学特有の概念として光的超曲面を定義しその特異点の幾何学的意味づけを行った.より具体的には,前年度に実施した4次元ミンコフスキー空間内の空間的曲面にたいする局所的微分幾何学の枠組みや,光的ガウス曲率,などの研究を基礎にして,対応する光的超曲面の特異点が空間的曲面と光錐が高次の接触を持つ点となると言う幾何学的意味付けを行った.一方,ミンコフスキー空間内の双曲面を考えることにより,双曲幾何学のモデルが考えられるがその部分多様体論を展開した.特に,余次元が2の場合の詳しい,幾何学的状況を明らかにし,さらに一般の余次元の場合にも,ルジャンドル特異点論を適用するとにより,その双曲幾何学的性質の研究を推進する端緒を与えた.また,余次元2の空間的部分多様体が光錐に含まれる揚合が,5次元以上のミンコフスキー空間の場合に重要で,共形的に平坦なリーマン多様体の特徴付けとして知られている.今年度の研究において,ミンコフスキー空間内の疑超球面の間の4種類の双対性を発見した.この発見により,疑超球面の一種と考えられる,光錐内の空間的部分多様体(共形平坦なリーマン多様体)の,局所的微分幾何学の研究が可能となった.このことにより,共形的平坦なリーマン多様体のより詳しい(共形同値では不変にはならないが,等長同値では不変となる)不変量の発見やその特徴付けにつながると思われる.