向き付け不可能な曲面の極小挿入と調和写像の研究

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リ-マン面で、非正則かつ共形的な対合写像で不動点を持たないものを考える。この写像で同一視することで、向きつけ不可能な曲面が得られる。特に具体的には、2次元射影空間、ある種の超楕円リ-マン面から作られた向きつけ不可能な曲面を考える。これらの向きつけ不可能な曲面から、向きつけ可能な4次元リ-マン多様体への調和写像と、対応するリ-マン面から4次元多様体への対合写像不変な調和写像は1対1に対応する。それで前者の構成のために、後者の構成をする。4次元リ-マン多様体のツイスタ-空間に自然に、対合写像を導入する。すると後者の調和写像に、EellsとSalamonの基本定理を用いることによって、ツイスタ-空間への対合写像不変な正則写像が対応することが示せた。Bryantは2次元単位球面S^2から4次元単位球面S^4への調和写像のツイスタ-リフトの具体的な形を与えた。それをもちいて、2次元射影空間からS^4への調和写像を具体的に構成できた。Woodはリ-マン面から複素グラスマン多様体への調和写像の因子分解定理を与えた。その結果を用いて向きつけ不可能な曲面から複素グラスマン多様体への調和写像の因子の性質を明らかにした。特に因子の次数について詳しく調べた。向きつけ不可能な曲面の3次元ユ-クリッド空間への極小挿入の例は幾らか知られている。しかしその性質、例えば、埋め込みになるものはあるかとか、端点の個数、状態はどうかとかはほとんど明らかにされていない。そのようなことを調べるために、知られている例のコンピュ-タ-・グラフィクを作り、その形状を調べた。数学的な結論はまだ得られていない。