ヘッセ行列式が消滅する超曲面について

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ヘッセ行列式が恒等的に0となるような同次多項式(=射影超曲面)の構成,分類および幾何学的不変量を決定する問題である。これに付随する代数的連立偏微分方程式の解を構成するアルゴリズムは完成した。これは不変式・組合せ論の手法によるものであるが手計算で解を構成できるものではない。この幾何学的特性を分析するにはまだ距離がある。一方自明でない解のあるクラスについては,それの定義する超曲面上に直線から成るalgebraic systemの存在が知られている。これとこの超曲面のホモロジー群との関係がわかる。この事実が,平面代数曲線の変曲点とその定義方程式のヘッセ行列式についての古典的理論の高次元の場合の対応した現象を,少くとも退化した場合について説明している。ただし具体的な代数幾何学的分析は,Riemann-Roch理論の不備から低次元の場合に留っている。こゝまでのことについては現在論文としてまとめている。この問題の意外に困難なところは,この超曲面は極めて退化した部分にあり,代数幾何学的不変式論の例外的適用範囲にあると思われるところである。これは古典的射影幾何学とのギャップでもある。たとえば上記微分方程式の解の構成に現われる古典不変式の技法の代数幾何学化の困難な点など。最近はこの方向に関心が移りつつある。