離散群及びTeichmuller空間論

今年度の研究課題に関して、複素平面内の単位円板及び上半平面U上の自己等角写像群Aut(U)について重点的に取り組み、以下の結果を得た。1. X,Y,Z=(YX)^<-1> ∈ Aut(U)のactionは次のtraceの値達により「ある意味」で完全に決定できる。(1) |tr(X)|,|tr(Y)|,|tr(Z)|.(2) tr(Z)tr(Y)tr(X).(3) tr([Y,S])=tr(Y^<-1> X^<-1> YX).ここで「ある意味」と述べたのは、traceの値はtr(X)=tr(X^<-1>)=tr(AXA^<-1>),A ∈ Aut(U)となることから、trace達のみでX,Y,Zを記述しようとしても、一次変換による共役の自由度とX,Y,Zの1つのactionの向きを指定する自由度が残るからである。しかし、この自由度から〈X,Y〉が離散群となる場合には表現するRiemann面での議論に幾何的な解釈が出来、有効となる。例えば、building blocksと呼ばれる基本的な離散群達のmoduliの決定、そしてTeichmuller空間の大域的実解析的座標の構成に役立つ。2. Uに作用する有限生成離散群からの行列群SL(2,C)へのliftが存在するための必要十分条件、そしてliftが存在するときには、そのliftの特徴付けが得られた。このlift特徴付けは、I.Kra(1985)が提出した問題の答えとなっている。しかし、その一部はSeppala,M.and Sorvali,T.(1991)により報告された。現在、次の予想を思い付き、考察中である。予想。Gをlift可能なcompact型の離散群とする。このときGが表現するRiemann面上のdividing loopに対応するGの元のliftは、liftの取り方によりず一定で、負の行列表現となる。

今年度の研究課題に関して、複素平面内の単位円板及び上半平面U上の自己等角写像群Aut(U)について重点的に取り組み、以下の結果を得た。1. X,Y,Z=(YX)^<-1> ∈ Aut(U)のactionは次のtraceの値達により「ある意味」で完全に決定できる。(1) |tr(X)|,|tr(Y)|,|tr(Z)|.(2) tr(Z)tr(Y)tr(X).(3) tr([Y,S])=tr(Y^<-1> X^<-1> YX).ここで「ある意味」と述べたのは、traceの値はtr(X)=tr(X^<-1>)=tr(AXA^<-1>),A ∈ Aut(U)となることから、trace達のみでX,Y,Zを記述しようとしても、一次変換による共役の自由度とX,Y,Zの1つのactionの向きを指定する自由度が残るからである。しかし、この自由度から〈X,Y〉が離散群となる場合には表現するRiemann面での議論に幾何的な解釈が出来、有効となる。例えば、building blocksと呼ばれる基本的な離散群達のmoduliの決定、そしてTeichmuller空間の大域的実解析的座標の構成に役立つ。2. Uに作用する有限生成離散群からの行列群SL(2,C)へのliftが存在するための必要十分条件、そしてliftが存在するときには、そのliftの特徴付けが得られた。このlift特徴付けは、I.Kra(1985)が提出した問題の答えとなっている。しかし、その一部はSeppala,M.and Sorvali,T.(1991)により報告された。現在、次の予想を思い付き、考察中である。予想。Gをlift可能なcompact型の離散群とする。このときGが表現するRiemann面上のdividing loopに対応するGの元のliftは、liftの取り方によりず一定で、負の行列表現となる。