亜群スキームの表現論の基礎理論

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1.GAMMAをアーベル群とするときGAMMAにより次数付けられた加法圏やアーベル圏という概念を考え,それらの圏の上の次数付きの意味での対称モノイド圏という概念を定式化した。これにより,安定ホモトピー圏とスマッシュ積からなる圏や,次数付き環上の次数付き加群とテンソル積からなる圏に共通する構造を圏論的に記述した。2.epsilon:GAMMA→{0,1}({0,1}は位数2の群)を群の準同型写像とするときGAMMAで次数付けられた可換環(GAMMA-環と呼ぶ)RとはGAMMA-次数付きアーベル群R=SIGMA_<gepsilonGAMMA> R_gで,x∈R_gとy∈R_hに対してxy=(-1)^<epsilon(g)epsilon(h)>yx∈R_<g+h>が成り立つようなものである。さらにGAMMA-環上の加群MとはGAMMA-次数付きアーベル群M=SIGMA_<gepsilonGAMMA> M_gで,x∈R_gとm∈M_hに対してxm∈M_<g+h>が成り立つようなものである。このような環および加群に対して局所化,テンソル積など通常の可換環とその上の加群に関する理論と同様の理論が成り立つことを検証した。3.GAMMA-環に関する“局所GAMMA-環付空間"を定義し,GAMMA-環に対してスペクトラムを構成した。これにより通常の場合と同様にしてGAMMA-環に関するアファイン・スキームが定義され,GAMMA-スキームが定義される。4.GAMMA-環のなすカテゴリーから集合のなすカテゴリーへの関手の幾何学的実現を考え,そのような関手がGAMMA-スキームで表現されるための条件を与えた。5.GAMMAで次数付けられた加群の層の一般論を準備してGAMMA-スキーム上のGAMMA-次数付き準連接層の理論を通常の場合に倣って構成した。6.GAMMA-スキームのカテゴリーにおける亜群対象を亜群スキームと呼ぶ。GAMMA-スキーム上への亜群スキームの作用を定義し,亜群スキームの作用するGAMMA-スキーム上のGAMMA-次数付き準連接層に対して亜群スキームのという概念を定義した。さらに亜群スキームの作用するGAMMA-スキームのなすカテゴリーや,亜群スキームの表現よりなるカテゴリーにおいて種々の積を構成した。