楕円型及び放物型方程式の解の存在と構造の研究

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平面上の曲線の発展方程式の解は異方性がない媒体においては有限時間内に一点に縮むことが知られていて,縮み方は円周から成る自己相似解であることが,すでに証明されている.しかし,異方性がある場合には有限時間で一点に縮むことは知られているが,そのときの様子はまだ分かっていない.そこで,C.Dohmen氏(Univ.of Bonn)と儀我美一氏(北海道大学)との共同研究によって,異方性がない場合に自己相似解の存在を証明した.我々の方法は,2階の非線型常微分方程式をLeray-Schauder degree theoryを使って解いている.解のa priori評価の方法は,他の方程式にも適用できる可能性がある.また,この結果は,3次元以上及び退化した場合への拡張の手がかりになるのではないかと思われる.また,鈴木貴氏(愛媛大学)との共同研究により,幅を固定した円環領域において,内径をパラメータとして無限大にしたときの半線型楕円型方程式の正値解の挙動を調べて,分類した.この結果は解の対称性の破壊の問題と関連がある.解の対称性の破壊は,3次元の場合だけが解決が遅れたが,その理由もこの結果によって明らかになる.この結果の証明では3次元の直交群の分類が必要になるが,それは阿部孝順氏(信州大学)の助けを借りた.証明の方法は任意の3次元の直交群に対して,それによって不変な関数から成る空間を考え,そこでmountain pass lemmaを使って最小エネルギー解を求め,その性質を用いて,解の挙動を分類した.