Blowup phenomena in chemotaxis system

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非線形放物型方程式において最初に爆発問題が研究された藤田方程式ではタイプIの爆発とタイプIIの爆発が共存し、タイプIの爆発の方が数学的な考察が容易である。しかしながら、２次元の走化性方程式系ではタイプIIの爆発しか起こらない。粘性をもHamilton-Jacobi方程式も走化性方程式系と同様に非線形項に勾配を含み、タイプIIの爆発しか起こらない。研究代表者は、この類似性の観点から、粘性をもつHamilton-Jacobi方程式の爆発解や爆発後に延長された弱解の挙動について研究した。空間次元が１次元の場合に、代数学や幾何学の概念である組み紐群を応用して爆発と境界条件回復のレイトを完全に分類し、分類された各々の場合に解の挙動を決定した。非常に長い論文になったのでプレプリントとしてArXivに投稿し（arXiv:2110.12934）、現在論文としての投稿方法を検討している。研究分担者の中西賢次氏は、４次元のZakharov系について解の大域挙動を調べ、基底状態の成すポテンシャル井戸の内側エネルギー領域において解の大域存在を示した。消散性非線形Klein-Gordon方程式の解を調べ、反発性２ソリトンの近傍にある解の挙動を５通りに分類する不変多様体を構成した。Trudinger-Moser不等式の最大化元の存在・非存在の境界となる臨界増大度について調べ、以前の２次元の結果を一般次元に拡張した。研究分担者の高田了氏は、3次元層状領域におけるCoriolis力付きNavier-Stokes方程式の初期値問題を考察し、スケール臨界なSobolev正則性をもつ初期速度場に対して、回転速度が十分大きい場合の時間大域的適切性を証明した。また回転速度を無限大とする特異極限において、同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した。