非線形放物型方程式の解の挙動の研究

非线性抛物型方程解的行为研究

基本信息

批准号：
09740091
负责人：
溝口紀子
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

非線形放物型方程式u_t=Δu+|u|^<p-1>uの初期値問題の解が有限時間で爆発するか時間大域的に存在するかがどのような要因で決定されるのかを研究した。これまでの文献では初期値が非負であることを仮定して正値解のみの挙動しか研究されていなかったが、符号変化を伴う解を扱うことによって解の符号変化の回数(ゼロ点の個数)が上のような解の挙動に大きな影響を与えることが分かった。また解の符号変化の回数は上の方定式で非線形項が逆の反応の場合、即ちu_t=Δu-|u|^<p-1>uの時間大域解の挙動にも爆発問題と類似した影響を及ぼすことを空間次元が1次元の場合に示した。この証明においては無限次元力学系の理論が有効であった。これまでは比較定理の直接的な応用が主要な証明法であった問題を力学系の立場から見ることにより、符号変化が解の挙動に本質的に関わっていることが明らかになった。解が爆発する場合にそのライフスパン(解の最大存在時間)は非常に大きい初期値に対しては初期値の形状のみで明確に記述されることを示した。非常に大きい解に対しては拡散の影響より反応の影響の方がはるかに大きいので、直観的にこの結果は予想されるが、それが正しいこと、さらにライフスパンは拡散項がない場合の常微分方程式のそれと第1項は一致し、第2項は初期値の最大点における2階微分係数によって表現されることを証明した。この結果を証明するために用いた方法は比較定理が成り立たないようなシステムなどの他の問題に対しても有効であると思われる。

我们研究了哪些因素确定了非线性抛物线方程U_T =ΔU+| U | u |^<p-1> U是否在有限时间爆炸还是在全球存在。以前的文献仅研究了阳性解决方案的行为，假设初始值是非负的，但是已经发现，通过处理具有符号变化的解决方案，溶液的符号变化（零点）的数量（零点）对上述溶液行为产生了重大影响。此外，在上述公式中，在一维空间维度的情况下显示了溶液中符号变化的数量，其中非线性项是逆反应，即U_T =ΔU-| U | U | U | U | U |^<p-1 u的时间溶液的行为与爆炸问题具有相似的作用。无限维度系统的理论在此证明中有效。通过查看问题，到目前为止，从动态系统的角度来看，直接应用比较定理是主要的证明方法，已经揭示了符号变化与解决方案行为基本上涉及。已经表明，当解决方案爆炸时，只有在非常大的初始值的初始值的形状中清楚地描述了寿命（解决方案的最大存在时间）。该结果是直观预测的，因为反应的效果远大于非常大的溶液的扩散的效果，但事实证明，它是正确的，并且寿命与没有扩散项的情况下的普通微分方程相匹配，并且第二项在初始值的最大点上表达第二个术语。用于证明该结果的方法可能对其他问题（例如比较定理不存在的系统）有效。