強擬凸領域の幾何に現われる不変式論

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この研究の目標は,強擬凸領域の幾何的な境界不変量を構成し,それらを用いてベルグマン核の境界での漸近展開を記述することであった.この目標を達成するために次の手順で研究を進めた.1.強擬凸領域での複素モンジュ・アンペ-ル方程式の漸近解を構成し,その解を用いて領域の標準束の上の自然なローレンツ・ケーラー計量を定義した.2.このローレンツ・ケーラー計量の曲率テンソルが境界のすべての局所CR不変量を含んでいることを証明した.さらにこの結果を用いて,境界の局所スカラー不変量はすべてこの曲率テンソルの成分の不変多項式として表示されることを示した.3.不変式論を用いることにより曲率テンソルの成分の不変多項式はすべて曲率の完全縮約の一次結号として与えられることを示した.ここで用いる不変式論に関しては最近R.グラハム等により目覚ましい進展があり,その理論を応用することによりこの不変式の特徴付けが得られた.4.以上の手続によりすべての境界不変量が1で構成したローレンツ・ケーラー計量の曲率テンソルの完全縮約の一次結合で与えられることが示された.最終段階ではこの不変量を用いてベルグマン核の境界での漸近展開に現れる係数を表示した.さらに2次元領域の場合に,これらの手続を数式処理システムMathematicaを用いて実行させることにより,ベルグマン核の7次までの展開を具体的に書き下した.