非線形偏微分方程式の解の精度保証付き数値計算法に関する研究

本年度の研究により,過去得られた楕円型方程式に関する結果を,より実用度の高いものに改良・拡張した.具体的には以下の項目の研究を行った.1.与えられた非線形偏微分方程式を,超関数理論に基づく弱形式に変形する.更にNewton-Likeな手法を用い,適当なHilbert空間上の不動点問題に同値変形を行う.この際,より効率よい定式化を提案した.2.検証結果の反復の過程で不動点定理の条件が満たされ,解の存在が計算機内で保証されるアルゴリズムを導く.計算機内では,有限要素法をもとに区間演算の性質に留意しながら近似解の決定,検証を行う反復解の計算,および射影によって生じる誤差評価を行った.3.また,検証プログラムの高速化と効率化の検討,およびその実用性の評価を行なった.具体的には,設備備品として購入したパーソナルコンピュータを用い,内積およびノルムの評価を数式処理システムで行い,結果を汎用性のある組み込み関数として作成した.4.丸め誤差を考慮した数値計算への適用として,精度保証付きライブラリによる解の精度保証を微分不能項を含む非線形MHD方程式に適用し,解の存在検証に成功した.今後の研究としては,これまでに得られた非線形楕円型方程式の解の精度保証計算を,Navier-Stokes方程式の定常解の精度保証に適用することを行う予定であり,既に線形化版であるStokes方程式の有限要素解に対するa priori/aposterioriな誤差評価の定式化に関する考察に着手している.

本年度の研究により,過去得られた楕円型方程式に関する結果を,より実用度の高いものに改良・拡張した.具体的には以下の項目の研究を行った.1.与えられた非線形偏微分方程式を,超関数理論に基づく弱形式に変形する.更にNewton-Likeな手法を用い,適当なHilbert空間上の不動点問題に同値変形を行う.この際,より効率よい定式化を提案した.2.検証結果の反復の過程で不動点定理の条件が満たされ,解の存在が計算機内で保証されるアルゴリズムを導く.計算機内では,有限要素法をもとに区間演算の性質に留意しながら近似解の決定,検証を行う反復解の計算,および射影によって生じる誤差評価を行った.3.また,検証プログラムの高速化と効率化の検討,およびその実用性の評価を行なった.具体的には,設備備品として購入したパーソナルコンピュータを用い,内積およびノルムの評価を数式処理システムで行い,結果を汎用性のある組み込み関数として作成した.4.丸め誤差を考慮した数値計算への適用として,精度保証付きライブラリによる解の精度保証を微分不能項を含む非線形MHD方程式に適用し,解の存在検証に成功した.今後の研究としては,これまでに得られた非線形楕円型方程式の解の精度保証計算を,Navier-Stokes方程式の定常解の精度保証に適用することを行う予定であり,既に線形化版であるStokes方程式の有限要素解に対するa priori/aposterioriな誤差評価の定式化に関する考察に着手している.