量子ランダムウォークの調和解析の研究

種々の代数的構造の上のランダムウォークについて、調和解析的な方法を用いて研究を行った。特に、量子ランダムウォーク(quantum random walk)をこのような視点に基づいて調べることを主眼とした。一般に、ランダムウォークの分布は時間が経つにつれて平衡状態に収束していくが、その収束の過程を詳しく記述することは、物理学や統計学への応用において中心的な位置を占める問題である。古典的なランダムウォークに関する結果を踏まえて、量子ランダムウォークの平衡状態への収束の仕方の特徴を捉える方法を考察した。代数的構造の面で言えば、カッツ代数の理論が重要な役割を担うことがわかった。量子ランダムウォークを生成するホップ代数の構造に加えて、調和解析の方法の礎になる双対性を有することが効いている。多少未完成な形ではあるが、そのあたりの事情は別紙記載の論文に発表した。その中で、古典的なランダムウォークと対応させながら、量子ランダムウォークの推移作用素や不変測度について述べ、平衡状態への収束の過程を記述する問題を定式化した。このような立場に関連して、グラフやアソシエーションスキームの上のランダムウォークについても、新しい知見が得られる。すなわち、状態空間をなすグラフやアソシエーションスキームに付随して自然に定まるある種の作用素の族を考え、それらをオブザ-バブル(量子確率論的観点から見た確率変数)とみなして、確率論的な挙動を調べるのである。たとえば距離正則グラフのように高い対称性をもつ状態空間を扱う場合には、指標や球関数の性質についての詳しい情報が得られ、調和解析の方法がうまく機能する。このあたりの話題に関しては、現在論文を準備中である。

種々の代数的構造の上のランダムウォークについて、調和解析的な方法を用いて研究を行った。特に、量子ランダムウォーク(quantum random walk)をこのような視点に基づいて調べることを主眼とした。一般に、ランダムウォークの分布は時間が経つにつれて平衡状態に収束していくが、その収束の過程を詳しく記述することは、物理学や統計学への応用において中心的な位置を占める問題である。古典的なランダムウォークに関する結果を踏まえて、量子ランダムウォークの平衡状態への収束の仕方の特徴を捉える方法を考察した。代数的構造の面で言えば、カッツ代数の理論が重要な役割を担うことがわかった。量子ランダムウォークを生成するホップ代数の構造に加えて、調和解析の方法の礎になる双対性を有することが効いている。多少未完成な形ではあるが、そのあたりの事情は別紙記載の論文に発表した。その中で、古典的なランダムウォークと対応させながら、量子ランダムウォークの推移作用素や不変測度について述べ、平衡状態への収束の過程を記述する問題を定式化した。このような立場に関連して、グラフやアソシエーションスキームの上のランダムウォークについても、新しい知見が得られる。すなわち、状態空間をなすグラフやアソシエーションスキームに付随して自然に定まるある種の作用素の族を考え、それらをオブザ-バブル(量子確率論的観点から見た確率変数)とみなして、確率論的な挙動を調べるのである。たとえば距離正則グラフのように高い対称性をもつ状態空間を扱う場合には、指標や球関数の性質についての詳しい情報が得られ、調和解析の方法がうまく機能する。このあたりの話題に関しては、現在論文を準備中である。