表現論的方法に基づくランダムウォークの研究

1.表現のテンソル積の分解、粒子の拡散、カードシャッフリング等の具体的な現象を、状態空間の持つ固有の代数的構造によって引き起こされるランダムウォークとして定式化し、表現論的方法を用いてその性質を研究した。主たる研究事項は、これらのランダムウォークの平衡状態とそのような状態への収束の仕方である。群の作用の他、ハイパーグループ、アソシエーションスキーム、ホップ代数等の代数的構造を考慮して、多様な運動をできるだけ統一的に把握できるよう努めた。2.状態空間の上部構造としての多元環の積(から決まる構造定数)によって推移確率を定め、この推移確率を与える多元環の元のベキ乗にまつわる種々の性質でもってランダムウォークの挙動を記述するというのが、基本的な問題設定である。以下、2つの具体的な対象について述べる。(1)単純リー環の有限次元既約表現のテンソル積の分解における重複度を数えることによって、ウェイト束(とワイル領域との共通部分)の上のランダムウォークが生じる。これは、非可喚なホップ代数に付随する量子ランダムウォークの1つの例を与えることがわかった。また、表現論的な量を用いて推移確率を明示する式を得た。(2)ジョンソンスキームを用いた粒子の拡散モデルを拡張し、粒子の重ね合わせの状態を導入することによって、ジョンソンスキームのq-アナログ(あるいはグラスマン多様体)上のランダムウォークが生じる。これらを一般のアソシエーションスキームを用いて定式化し、より広いクラスのモデルに対して、拡散の臨界時刻を求められることがわかった。この作業は現在進行中である。

1.表現のテンソル積の分解、粒子の拡散、カードシャッフリング等の具体的な現象を、状態空間の持つ固有の代数的構造によって引き起こされるランダムウォークとして定式化し、表現論的方法を用いてその性質を研究した。主たる研究事項は、これらのランダムウォークの平衡状態とそのような状態への収束の仕方である。群の作用の他、ハイパーグループ、アソシエーションスキーム、ホップ代数等の代数的構造を考慮して、多様な運動をできるだけ統一的に把握できるよう努めた。2.状態空間の上部構造としての多元環の積(から決まる構造定数)によって推移確率を定め、この推移確率を与える多元環の元のベキ乗にまつわる種々の性質でもってランダムウォークの挙動を記述するというのが、基本的な問題設定である。以下、2つの具体的な対象について述べる。(1)単純リー環の有限次元既約表現のテンソル積の分解における重複度を数えることによって、ウェイト束(とワイル領域との共通部分)の上のランダムウォークが生じる。これは、非可喚なホップ代数に付随する量子ランダムウォークの1つの例を与えることがわかった。また、表現論的な量を用いて推移確率を明示する式を得た。(2)ジョンソンスキームを用いた粒子の拡散モデルを拡張し、粒子の重ね合わせの状態を導入することによって、ジョンソンスキームのq-アナログ(あるいはグラスマン多様体)上のランダムウォークが生じる。これらを一般のアソシエーションスキームを用いて定式化し、より広いクラスのモデルに対して、拡散の臨界時刻を求められることがわかった。この作業は現在進行中である。