有理数体上定義されたCM型アーベル曲面の分類

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本研究の目的は、有理数体上定義されたCM型アーベル曲面の分類を行うことである。まず問題となるのが、CM型アーベル曲面のモジュライの体が有理数体と一致する為の必要十分条件を、対応するCM-体の言葉で書くことが出来るかという点である。楕円曲線の場合は非常に簡明で、対応する虚二次体の類数が1という条件である。これに関しては、今年度の研究で、満足のいく答が得られた。それによると、2次元の場合には、類数に関する条件の他に、分岐する素数の合同条件が必要となる。この合同条件は、3つのタイプに別れるのであるが、そのなかの1つのタイプに関しては、必ず有理数体上定義されたモデルが存在するという事も今年度の研究で明らかとなった。今後の研究の展開としては以下の事を計画している:1.残り2つのタイプに関して、有理数体上定義されたモデルが存在するかどうかを調べる。2.上記のCM体がどれぐらい存在するかを調べる。