正標数の環に値をとる指標に関する自己共役代数の研究

研究代表者は正標数の環Aで、そのあるエデアルIの加法群のAに値をとる指標がIと同型になるようなものを構成した。具体的には、有限体上代数閉包を含むような完備付値体Kを一つ取り、有限次元K-vector space V を考える。Vのsymmetric algebraのgraded dual A とその次数正の元からなるイデアルIはdivided power algebraの構造を持つ。A,Iの作用素ノルムによる完備化をそれぞれA,Iとすると、divided power algebraの構造はIにまで延びる。このときIのAに値を取る指標群はI自身と同型である。証明のために、上述のdivided power algebraの構造に関して、(Aには多くの零因子のがあるにも関わらず)divided powerの意味での収束冪級数に対して係数の一意性が成立することを示した。この性質は一般のdiveded power algebraでは成立しないので本研究特有の結果である。これを用いてまず冪級数に対して微分の概念を代数的に定義し、これが通常の解析的な微分同様、合成関数の微分公式をみたすことを示した。そしてAに値を取る指数関数や対数関数を定義し、実数体のものと同様な性質を持つことを示した。これらの結果は論文“On duality over a certain devided power algebra with positive characterstic"(投稿中)にまとめられた。今後本研究で構成された環上の調和解析の研究、さらに、Drinfeld型保型形式への応用などの研究を進めて行きたい。

研究代表者は正標数の環Aで、そのあるエデアルIの加法群のAに値をとる指標がIと同型になるようなものを構成した。具体的には、有限体上代数閉包を含むような完備付値体Kを一つ取り、有限次元K-vector space V を考える。Vのsymmetric algebraのgraded dual A とその次数正の元からなるイデアルIはdivided power algebraの構造を持つ。A,Iの作用素ノルムによる完備化をそれぞれA,Iとすると、divided power algebraの構造はIにまで延びる。このときIのAに値を取る指標群はI自身と同型である。証明のために、上述のdivided power algebraの構造に関して、(Aには多くの零因子のがあるにも関わらず)divided powerの意味での収束冪級数に対して係数の一意性が成立することを示した。この性質は一般のdiveded power algebraでは成立しないので本研究特有の結果である。これを用いてまず冪級数に対して微分の概念を代数的に定義し、これが通常の解析的な微分同様、合成関数の微分公式をみたすことを示した。そしてAに値を取る指数関数や対数関数を定義し、実数体のものと同様な性質を持つことを示した。これらの結果は論文“On duality over a certain devided power algebra with positive characterstic"(投稿中)にまとめられた。今後本研究で構成された環上の調和解析の研究、さらに、Drinfeld型保型形式への応用などの研究を進めて行きたい。