量子群の共変量の性質とその応用

1 量子群の共変量と呼ばれるものは、量子群の作用のもとである特定の振る舞いをする代数のことである。そのようなもの何種類か知られているが、本研究では量子群Suq(n),SUq(n/m)の共変量であるq‐ボゾン振動子とq‐フェルミオン振動子について調べた。量子群およびその共変量はあるパラメーターqに対して定義されている。本研究ではバラメーターqに対するq‐振動子と、1/qに対するq‐振動子の間に同形写像が存在することを示し、その具体形を求めることに成功した。この同形写像をq‐振動子を用いて構成された量子(超)代数(これも量子群の共変量である)に応用した。また、q‐振動子のいくつかのコピーを作り、それらが全て量子群の共変量になることを要請して新たな代数を作ることができるのだが、上で得られた同形写像はそのままでは拡張できないことが分かった。2 量子代数およびその表現論を物理に応用しようという試みは数多くなされてきた。しかし、量子代数のパラメーターqに物理的意味がある例は少なく、多くの場合は実験結果を合わせるための任意パラメーターとして使用されてきた。我々は球面上に束縛された電子を一様な強磁場の中においた系を量子力学で扱うことにより、量子代数Uq(sl(2))が電子のエネルギー固有状態の縮退を記述できることを示した。この場合パラメーターqは電子のfilling factorと呼ばれる量になっており、これはパラメーターが物理的な意味を持つ例である。3 量子群の共変量のひとつに量子平面とその上での微分演算というものがある。GLq(1/1)量子群のもとで共変な量子平面とq‐変形されたVirasoro代数の関係を導いた。これをもとにしてq‐変形されたVirasoro超代数と量子平面の関係が解明できることが期待される。

1 量子群の共変量と呼ばれるものは、量子群の作用のもとである特定の振る舞いをする代数のことである。そのようなもの何種類か知られているが、本研究では量子群Suq(n),SUq(n/m)の共変量であるq‐ボゾン振動子とq‐フェルミオン振動子について調べた。量子群およびその共変量はあるパラメーターqに対して定義されている。本研究ではバラメーターqに対するq‐振動子と、1/qに対するq‐振動子の間に同形写像が存在することを示し、その具体形を求めることに成功した。この同形写像をq‐振動子を用いて構成された量子(超)代数(これも量子群の共変量である)に応用した。また、q‐振動子のいくつかのコピーを作り、それらが全て量子群の共変量になることを要請して新たな代数を作ることができるのだが、上で得られた同形写像はそのままでは拡張できないことが分かった。2 量子代数およびその表現論を物理に応用しようという試みは数多くなされてきた。しかし、量子代数のパラメーターqに物理的意味がある例は少なく、多くの場合は実験結果を合わせるための任意パラメーターとして使用されてきた。我々は球面上に束縛された電子を一様な強磁場の中においた系を量子力学で扱うことにより、量子代数Uq(sl(2))が電子のエネルギー固有状態の縮退を記述できることを示した。この場合パラメーターqは電子のfilling factorと呼ばれる量になっており、これはパラメーターが物理的な意味を持つ例である。3 量子群の共変量のひとつに量子平面とその上での微分演算というものがある。GLq(1/1)量子群のもとで共変な量子平面とq‐変形されたVirasoro代数の関係を導いた。これをもとにしてq‐変形されたVirasoro超代数と量子平面の関係が解明できることが期待される。