微分幾何学に現れる変分問題の解析的側面の研究

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コンパクト4次元多様体上のヤング・ミルズ接続の流れの方程式の弱解の構成を行った.その結果として、コンパクト4次元多様体上のヤング・ミルズ接続の流れの方程式は、時間に関して大域的な弱解を持ち、その解は時間空間の中で有限個の点を除いて滑らかであるこがわかった.また、3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式に関しても考察を行った.この研究に関しては、以下のような結果を得た.3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の滑らかな解の正則性に関する指標として、ユークリッド空間の無限遠点として捉えられる2次元球面上のある種の積分が小さい限り、その解は滑らかに延長できる。この性質は、コンパクト多様体上の非線形方物型方程式では良く知られている性質であるが、コンパクトでない空間上の方程式に関しては、全く新しいタイプの結果で、無限遠点へのエネルギーの集中という現象を観察することができた.また、3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の解の爆発点における漸近的な挙動もほぼ観察できることがわかった.これによって、流れの方程式の大域的な弱解の構成が可能になるだろう.以上の研究は全て慶応義塾大学理工学部の前田吉昭氏と名古屋大学多元数理科学研究科の小薗英雄氏との共同研究である。