微分幾何学における変分問題の解析的側面の研究

3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式に関しても考察を行なった.この研究に関しては,以下のような結果を得た.3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の滑らかな解の正則性に関する指標として,ユークリッド空間の無限遠点として捉えられる2次元球面上のある種の積分が小さい限り,その解は滑らかに延長できる.この性質は,コンパクト多様体上の非線形放物型方程式では良く知られている性質であるが,コンパクトでない空間上の方程式に関しては,全く新しいタイプの結果で,無限遠点へのエネルギーの集中という現象を観察することができた.また,3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の解の爆発点における漸近的な挙動もほぼ観察できることがわかった.さらに,流れの方程式の爆発時間におけるエネルギーの挙動を調べ,流れの方程式が時間大域的な弱会を持つことを証明した.以上の研究は慶応義塾大学理工学部の前田吉昭氏と名古屋大学多元数理科学研究科の小薗英雄氏との共同研究である.

3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式に関しても考察を行なった.この研究に関しては,以下のような結果を得た.3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の滑らかな解の正則性に関する指標として,ユークリッド空間の無限遠点として捉えられる2次元球面上のある種の積分が小さい限り,その解は滑らかに延長できる.この性質は,コンパクト多様体上の非線形放物型方程式では良く知られている性質であるが,コンパクトでない空間上の方程式に関しては,全く新しいタイプの結果で,無限遠点へのエネルギーの集中という現象を観察することができた.また,3次元ユークリッド空間上のヤング・ミルズ・ヒッグス場の流れの方程式の解の爆発点における漸近的な挙動もほぼ観察できることがわかった.さらに,流れの方程式の爆発時間におけるエネルギーの挙動を調べ,流れの方程式が時間大域的な弱会を持つことを証明した.以上の研究は慶応義塾大学理工学部の前田吉昭氏と名古屋大学多元数理科学研究科の小薗英雄氏との共同研究である.