ウィーナー・リーマン空間とループ群上の拡散過程

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今年度は研究課題に関連して、コンパクトリーマン多様体M上の連続な閉道のなす空間Lx(M)(ループ空間)上のラプラシアンLの性質を調べた,正確にはLはLx(M)上のブララン運動の測度に対して対称な作用素である.M=|R^c|の時はLのスペクトルは重複度無限の固有値からなるが,一般のケースはまだよくわからない.パス空間上ではLがスペクトルキャップをもつことが分かっているが,この方面で以下の結果を得た。第1に、ある正のポテンシャル関数Vに対してシュレ-ディンが一作用素LtVが対数ソボレフ不等式をみたすこと。更にこの帰結の拡散半群e^<tc(LtV)>の超縮小性から、LtVの最小固有値E_oが重複度有限であることがわかる。またこの対数ソボレフ不等式はウィーナー空間上の不等式から示されるのである。第2に、Lの定めるディリクレ形式はLx(M)の各ホモトピー類上で既約であることを示した。このことは、次のようにして示される。まずLx(M)を確率微分方程式の解を用いてウィーナー空間へ埋め込む、それをSxとする。SxはLx(M)の各ホモトピー類に応じて分解されるが、その管状近傍はおのおのある種の連結性をもつことがわかり、その結果既約性がわかる。第3に、上記の結果を用いて、E_oの重複度がMが単連結の時1でありその固有関数ΩはΩ>oをみたすことがわかる。また、第2の結果はMが単連結の時oがLの重複度1の固有値となることを示している。これらの結果は、Grossがループ群に対して得ていた結果を一般のコンパクトリーマン多様体のループ空間上への結果へと拡張したものである。