無限次元解析の諸問題と確率解析の研究

无限维分析和随机分析问题研究

• 批准号: 20H01804
• 负责人: 会田 茂樹
• 金额: $ 4.83万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01804/
• 关键词: 確率解析; ラフパス; 確率微分方程式; 無限次元空間; 解の近似; 4次モーメント定理; マリアバン解析; 近似誤差; 多次元ヤング積分

今年度はラフパスで駆動される微分方程式(=Rough differential equation=RDE)の解の解析、特に近似誤差の研究を行った。具体的にはハースト指数Hが1/3と1/2の間にあるときの非整数ブラウン運動で駆動されるRDEの近似解(implementable Milsetin, Crank-Nicolson, First order Euler)の誤差過程の漸近極限過程を熊本大の永沼氏と共同で決定し、論文として投稿した。手法は、兼ねてより考えて来た近似解と真の解を一つのパラメータを用いて補間する近似解を用いた解析と多次元ヤング積分の評価・マリアバン解析による。誤差過程を主要項と剰余項に分けたとき、主要項の収束を4次モーメント定理、マリアバン解析、多次元ヤング積分を用いて示し、剰余項の評価は補間近似過程の解析による方針は前年度と同様だが、得られた結果は当初想定していたより次の意味で良い結果になっている。まず、補間近似過程をパラメータに関して微分した展開式を用いて解析を行うのだが、証明を改善し、その微分回数を減らすことができ、これによりRDEの係数関数に対する滑らかさを最小限に留めることができたことがその一つである。更に補間近似過程の解析を詳細に行い、Cass-Litterer-Lyonsの結果を用いて剰余項のsup-normのp乗可積分ノルムが指数オーダーで0に収束することが示せたのがもう一つの改良された結果である。剰余項の収束のオーダーが分かったわけだが、それが真のオーダーか、すなわち漸近極限の評価の精密化はこれからの課題である。

This year, the analysis and special approximation error of the solution of the differential equation (=Rough differential equation=RDE) are studied. The asymptotic limit process of the error process of the RDE approximate solution (implementable Milsetin, Crank-Nicolson, First order Euler) of the concrete non-integer motion index H = 1/3 and 1/2 is determined jointly by Kumamoto and Naganuma. The approximate solution and the true solution are discussed in detail below. The error process is composed of the main term, the residual term, the bundle of the main term, the fourth-order theorem, the analysis of the multiple term, the evaluation of the residual term, and the analysis of the complementary approximation process. The policy is the same as that of the previous year. The result is the same as that of the original idea. In the case of the interpolation approximation process, the coefficient of the RDE is reduced by the coefficient of the differential expansion. In addition, the analysis of the interpolation approximation process is carried out in detail, and the results of Cass-Litterer-Lyons are used in the analysis of the sup-norm of the residual term. The rest of the term is divided into two parts: the first part is true, the second part is asymptotic limit, and the third part is precise.

项目成果

Error analysis for approximations to one-dimensional SDEs via the perturbation method

通过摄动法对一维 SDE 进行近似误差分析

• 发表时间: 2020
• 期刊: Osaka Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.4
• 作者: Okada;D.;Iyama;Y.;Sawaguchi;T.;Kawamura;N.;Yasufuku;K.;Ohori;M.;and Okada;H.;Shigeki Aida and Nobuaki Naganuma
• 通讯作者: Shigeki Aida and Nobuaki Naganuma

An approach to asymptotic error distributions of rough differential equations

粗微分方程渐近误差分布的一种方法

• 发表时间: 2022
• 作者: 三宅 輝;中山 迅;田口瑞穂;Shigeki Aida
• 通讯作者: Shigeki Aida

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