単純群の幾何とコホモロジー

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本研究の最大の成果は、多くの(特に標数p型の)散在型単純群のp-radical complexが決定され[論文6]、それと群の作用とequivariantにホモトピー同値である極小の単体複体が求められた[論文3]ことである。この極小の単体複体は、殆どの場合、これらの群に対する(p-局所)幾何と呼ばれる複体に他ならず、従って本研究は従来単に場当たり的に発見されてきたこれらの幾何に対する数学的な意味をはっきりさせたといえる。この結果はさらに、これらの有限単純群のmodulo pでのコホモロジー環の構造を決定する上で代数的位相幾何学においても重要な応用を持つ。というのは、コホモロジー環の加群構造が極小の複体の単体の固定化群に関するコホモロジー構造の交代和として、帰納的に決定できるからである。また、極空間と局所的に同じ構造を持つ単体複体は、旗上可移であれば、完全に決まることが[論文1]により示され、現在は双対極空間の拡大を決定することが大きな問題となっている。ここで、最小の階数2の(双対)極空間の拡大の、ある無限系列を構成してみせたのが[論文5]であり、4元体上のTitsの極空間の拡大を旗上可移の条件のもとに完全分類したのが[論文4]である。これらの複体の被覆空間の構成に、コホモロジー的手法は密接に関連している。更に[論文2]では、コホモロジー的に区別できる二つの群から作られる群アソシエーションスキームは、そのパラメーターからでは区別できないことが示されている。