インシデンス幾何と代数的符号理論

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本研究は次の2点を中心に行われた。(i)建物理論のアパートに相当する概念を代数的符号の言葉を用いて一般のインジデンス幾何に拡張し、その性質を調べる。(ii)代数的符号を用いてインシデンス幾何の埋め込み(ベクトル空間中への実現)を調べる。これらに関し、本科研費申請時点(平成5年10月)から本報告書作成時点(平成7年3月)までにおいて、次の結果が得られた。以下幾何的サイクル符号とは、インシデンス幾何の極大旗を基底とする二元体上の鎖群中の最高次サイクル全体のなす部分空間を鎖群中の符号と見たものとする。(1)球面的半単純代数群に対する建物の幾何的サイクル符号の最小重みはワイル群の位数に等しい。A_7-空間(建物に非常に近い幾何)の幾何的サイクル符号の最小重みは36である。(S.D.Smithとの共同研究。研究発表3)(2)球面的半単純代数群に対する建物の幾何的サイクル符号の最小重みを与えるサポートは建物のアパートに等しい。A_7-空間の幾何的サイクル符号の最小重みのサポートは共役を除き一定なアパートに近い構造物である。(研究発表1)(3)階数2のインシデンス幾何において一つの線上に3点があるとき、点を基底とする二元体上のベクトル空間の線上の3点の和全体が生成する部分空間による剰余空間は、この幾何の埋め込みを与えることがわかる。この事実を用いて、散在型単純群M_<12>,J_2に関連した正則近多角形に対して、その普遍埋め込みと最小の大きさを持つ幾何学的超平面が決定された。(研究発表2)