カルタン埋め込みについて

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コンパクト・リー群G上の自己同型σにより固定される元全体のなす部分群をKとする。このとき、σにより等質空間G/KからGへの埋め込み(カルタン埋め込みという)が定められる。σが、G上の位数2または3の自己同型である場合には、カルタン埋め込みが極小埋め込みになるか、さらに極小埋め込みである場合には安定となるかは決定されている。我々は、σが位数4の内部自己同型である場合について、カルタン埋め込みが極小埋め込みになるσを決定した。さらにσが5以上の素数を位数とする内部自己同型である場合には、カルタン埋め込みは極小埋め込みにならないこともわかった。6次元球面S^6は、ケイリー数の積を用いて概複素構造が定められることが知られている。グラスマン幾何の観点から見た場合、概複素多様体の典型的な部分多様体として、正則部分多様体、全実部分多様体、CR部分多様体がある。6次元球面の正則部分多様体についてはGray、Bryantらにより、3次元全実部分多様体についてもEjiri、Mashimoを含め多くの結果が得られている。しかしCR部分多様体の存在については、Sekigawaによる例がただ一つあるのみである(しかもこの例は充満ではない)。我々は、(実)6次元概複素多様体の3次元部分多様体がCR部分多様体であるための判定条件を微分形式を用いて与えた。さらにその条件を利用して、6次元球面内には等質な3次元CR部分多様体が無数に存在することを示した。