リー群と調和写像

点击翻译按钮获取中文摘要

コンパクトリー群Gのホモロジー群の直和はポントリャ-ギン積と呼ばれる積により代数の構造を持ち,それはGの階数個の生成元を持つ外積代数に同形であることが知られている。ポントリャ-ギンにより,この生成元を代表する(ポントリャ-ギン輪体と呼ばれる)輪体が知られている。ポントリャ-ギン輪体は高々1点を除くとGの部分多様体の構造を持っている。同じホモロジー類を代表する他の部分多様体と比較してポントリャ-ギン輪体は,体積が最少であることが期待される.このことを示すことは難しいと考えらえるが,それを裏付ける事実として体積の第2変分に関する安定性(第2変分が常に非負であること)の研究は興味深いものである.我々は,等質空間上の等質ベクトル束の調和解析の理論を応用して,特殊ユニタリー群,及び特殊直交群の場合のポントリャ-ギン輪体が体積の第2変分に関して安定であることを示した.等質空間上の等質ベクトル束の調和解析の理論を具体的な問題に応用する際に,リー群Gの表現を等方部分群Kの表現として分解する分岐定理が必要になる.しかし分岐定理が完全な形で知られている対(G,K)は少ない.階数1のコンパクト対称対に限っても,ケイリー射影平面に対応する対(F_4,Spin(9))の分岐定理はあまりよく解っていない.代表者は以前レポウスキーの結果を進めて,分岐則の研究を行い応用としてケイリー射影上のp次微分形式(p=2,3)に作用するラプラシアンの固有値を求めた。今回さらに,p=4、5に対する固有値の計算を行った。