ループ群と正則ウィナー汎関数の研究

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1.抽象ウィナー空間上の振動積分の漸近積分の漸近挙動に関して正則ウィナー汎関数の性質を応用した結果を得たので報告する.有限次元の振動積分の漸近挙動の場合,位相関数の停留点における2階微分(ヘシアン)と振幅関数のその停留点での値がえ漸近挙動を支配することがよく知られている.このたび抽象ウィナー空間の場合に,位相関数が2重ウィナー積分で振幅関数が多重ウィナー積分の場合に漸近挙動を調べた.実は一般の多重ウィナー積分は連続でないため,位相関数の停留点(今の場合は1点)での値が一意に定まらない.一意に定まるためには,多重ウィナー積分の核がある種の「多重トレース」を持たなければならない.とくに連続であればそのような多重トレースが存在し,有限次元の場合と同様の漸近公式を得ることができる.この結果に関し,現在,本研究分担者の谷口説男氏との共著論文を準備中である.2.連続なウィナー汎関数の各ウィナー=カオス成分の連続性の研究に関して報告する.2乗可積分ウィナー汎関数FのS-変換(エルミート変換)F^^<^>(h)はカメロン=マルチン部分空間上で解析的になる.もしFが適当な連続性を持てばF^^<^>(h)も抽象ウィナー空間全体に連続関数に拡張される。とくに実数αについてF^^<^>(αh)は解析的であるが,α^nの係数(hは関数)が抽象ウィナー空間全体に連続関数に拡張されることが予想される.ところが,その係数というのは「多重ストラトノビッチ積分」に外ならない.そして,Hu-Meyerの方法によって元のFの各ウィナー=カオス成分が連続になることが分かるであろう.以上のことについて,現在,検討中である.