無限次元確率解析と微分幾何学

無限次元正則関数について本研究の代表者は以下のような知見を得たので報告する。無限次元正則関数の定義は使用目的によって様々なものが考えられるが、我々が採用した定義は確率解析に根ざしているShigekawaの定義である。これは複素Wiener空間上の加測関数(Wiener汎関数という)のうち正則な多項式関数(これは実質的に有限次元の正則関数である)のL_p-極限として得られるものである。さて、正則多項式自体は連続関数であるが極限として得られる正則Wiener汎関数は一般に連続ではない。しかし、正則性という強力な構造によって次のような無限次元Brown運動に対する細連続性を持つ。:正則Wiener汎関数は確率0の修正をすれば複素Wiener空間上の原点から出発する無限次元Brown運動の軌道に沿って時間1までは確率1で連続である。(H. Sugita, J. Math. Kyoto Univ., 34-4(1994)849-857.)この結果を踏まえて時間1以降の無限次元Brown運動と正則Wiener汎関数の関連を調べた。新しい知見は次の通り。:正則Wiener汎関数の上に述べた修正は「正則除外集合」という零集合上で行われ、無限次元Brown運動は時刻1までは確率1でそれに到達しない。しかし、時刻1を越えると到達する事があり得ることが分かった。このことは正則Wiener汎関数によっては時刻1を越える無限次元Brown運動の軌道に関して連続になり得ないことを示している。このようなことは有限次元では決して起こらないことで無限次元の特徴を示している。以上のような知見も含め最近の正則Wiener汎関数に関する研究について総合報告を作成した。それはProceedings of Taniguchi Symposium '94に掲載予定である。

無限次元正則関数について本研究の代表者は以下のような知見を得たので報告する。無限次元正則関数の定義は使用目的によって様々なものが考えられるが、我々が採用した定義は確率解析に根ざしているShigekawaの定義である。これは複素Wiener空間上の加測関数(Wiener汎関数という)のうち正則な多項式関数(これは実質的に有限次元の正則関数である)のL_p-極限として得られるものである。さて、正則多項式自体は連続関数であるが極限として得られる正則Wiener汎関数は一般に連続ではない。しかし、正則性という強力な構造によって次のような無限次元Brown運動に対する細連続性を持つ。:正則Wiener汎関数は確率0の修正をすれば複素Wiener空間上の原点から出発する無限次元Brown運動の軌道に沿って時間1までは確率1で連続である。(H. Sugita, J. Math. Kyoto Univ., 34-4(1994)849-857.)この結果を踏まえて時間1以降の無限次元Brown運動と正則Wiener汎関数の関連を調べた。新しい知見は次の通り。:正則Wiener汎関数の上に述べた修正は「正則除外集合」という零集合上で行われ、無限次元Brown運動は時刻1までは確率1でそれに到達しない。しかし、時刻1を越えると到達する事があり得ることが分かった。このことは正則Wiener汎関数によっては時刻1を越える無限次元Brown運動の軌道に関して連続になり得ないことを示している。このようなことは有限次元では決して起こらないことで無限次元の特徴を示している。以上のような知見も含め最近の正則Wiener汎関数に関する研究について総合報告を作成した。それはProceedings of Taniguchi Symposium '94に掲載予定である。