Shimuraverietäten und Spurformeln

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Die Theorie der automorphen Formen beschäftigt sich mit der Zerlegung des Hilbertraums L2 (G(Q)\G(A), dg) in Teildarstellungen der Gruppe G(A), wobei G eine reduktive Gruppe über dem Körper der rationalen Zahlen ist und A der Ring der rationalen Adele. Die Theorie der Darstellungen der Gruppe G(A) = `'v G(Qv) der adelewertigen Punkte von G ist dabei ein wesentlicher Bestandteil der Theorie der automorphen Formen. Nach einer tiefen Vermutung von Langlands korrespondieren die die irreduziblen zulässigen Darstellungen der lokalen Gruppen G(Qv) - Qv ist hierbei eine Komplettierung des Körpers Q - zu gewissen Darstellungen der absoluten Galoisgruppe Gal(Qv : Qv) der Körper Qv. Diese Vermutung von Langlands wurde im Fall der linearen Gruppe G = Gl(n) vor kurzem von Harris und Taylor abschließend bewiesen, ist aber für die anderen Gruppen selbst in einfachen Fällen offen. Eine unmittelbare Folge der Vermutungen von Langlands ist das sogenannte Funktorialitätsprinzip. Diesem Prinzip folgend sollte man grundsätzlich in der Lage sein, das Problem auf den Fall der linearen Gruppen reduzieren zu können. Dazu muß man zeigen, daß irreduzible zulässige Darstellungen von G(Qv) sich zu irreduziblen Darstellungen (geeignet gewählter) linearer Gruppen liften lassen. Dieser Liftungsprozeß ist nichttrivial, da es sich um den Vergleich von Darstellungen verschiedener Gruppen handelt, welche selbst nicht in unmittelbarer Beziehung zueinander stehen müssen. Eines der wichtigsten Hilfsmittel, um dieses Problem anzugreifen, stellt die Selbergsche Spurformel dar. Diese liefert eine Formel für die Spur der Faltungsoperation gewisser Testfunktionen f auf G(A). Eine geeignete Umformung der Spurformel liefert die sogenannte stabilisierte Spurformel; dabei handelt es sich um eine Anwendung der Galoiskohomologie reduktiver Gruppen. Durch geeignete Zusammenfassung von Termen treten dabei sogenannte k-Orbitalintegrale auf. Diese k-Orbitalintegrale stehen in engem Zusammenhang mit Orbitalintegralen auf kleineren Gruppen. Ihr Studium liefert daher wichtige Informationen zum Verständnis des Funktorialitätsprinzip.