接続計量の幾何学と確率過程

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リーマン多様体は,リーマン距離による距離空間であると同時にリーマン測度とエネルギー形式によって定まる正則ディリクレ空間である.この視点から研究代表者が導入した「リーマン多様体のスペクトル収束」という概念とそのの展開において,ファイバー束上の接続から定まる全空間上のリーマン計量,すなわち接続計量が重要な役割を果たすことを見ること,およびそれが定めるエネルギー形式によって定義される自己共役作用素のスペクトル理論に新しい視点からの貢献をすることがこの萌芽的研究の主な目的である.今年度の成果を要約する:コンパクトリーマン多様体の列とそれぞれの上に定義された接続の与えられたエルミートベクトル束の列を考える。基底空間がある正則ディリクレ空間にスペクトル収束するとき,(必要なら部分列に対して)ベクトル束の切断空間上のエネルギー形式は、極限空間上の「ある空間上」の連続エルミートベクトル束の切断の空間のエネルギー形式にスペクトル収束する.つまりエネルギー形式のある種の収束ーガンマ収束を一般化したものーが成り立つ.これは,核作用素の収束、レゾルベント収束として表現できることが判る.厳密には極限空間全体の上の「空間」ではなく退化現象の起こるところを除いて考えねばならない。この様子は曲率の集中と密接に関係して,その詳しい解析は今後の課題である。