リーマン面上の極値的長さ、双曲的長さとモデュライ問題

有限種数gを持つリーマン面Rに対し,その弱ホモロジー群の基底から決まるいくつかの元の極値的長さの平方根を辺の長さに持つ2g単体を2g次元ユークリッド空間内に構成することができる。この単体の体積Vは基底の取り方に依らずRだけで決まる量である。こうして得られる新しい等角不変量の性質を詳しく調べた。まず,Rがコンパクトならば,Vは2gの階乗の逆数aに等しいことを証明した。これより,閉リーマン面のホモロジー類の極値的長さの間には種数のみに依存するある代数的な関係式が成立することが分かる。さらに,Vは包含関係に関して単調減少であることを示した。すなわち,Rが同種数の別のリーマン面R´に等角に埋め込まれれば,R´に対応する体積V´の値はV以下である。これより,Rがコンパクトではない場合,Vの値はaを下回らないことが知られるが,より詳しく,Vの取り得る値の範囲はa以上の実数全体に一致することを証明した。さらに,種数有限な開リーマン面の,同種数の閉リーマン面の中への等角的埋め込みの空間に関する柴・シュミーダーの定理を全く一般の場合にまで拡張することに成功した。この他に,加藤は,代数曲線論的手法を用いて,閉リーマン面上の高次数の線束について詳しく調べ,さらに,マルテンスの定理を拡張した。また,中内は,n-球面からリーマン多様体の中へのn-調和写像が存在することを証明し,この結果を応用して,最近のエルワージー・ローゼンバーグの定理の簡単な別証明を与えた。

有限種数gを持つリーマン面Rに対し,その弱ホモロジー群の基底から決まるいくつかの元の極値的長さの平方根を辺の長さに持つ2g単体を2g次元ユークリッド空間内に構成することができる。この単体の体積Vは基底の取り方に依らずRだけで決まる量である。こうして得られる新しい等角不変量の性質を詳しく調べた。まず,Rがコンパクトならば,Vは2gの階乗の逆数aに等しいことを証明した。これより,閉リーマン面のホモロジー類の極値的長さの間には種数のみに依存するある代数的な関係式が成立することが分かる。さらに,Vは包含関係に関して単調減少であることを示した。すなわち,Rが同種数の別のリーマン面R´に等角に埋め込まれれば,R´に対応する体積V´の値はV以下である。これより,Rがコンパクトではない場合,Vの値はaを下回らないことが知られるが,より詳しく,Vの取り得る値の範囲はa以上の実数全体に一致することを証明した。さらに,種数有限な開リーマン面の,同種数の閉リーマン面の中への等角的埋め込みの空間に関する柴・シュミーダーの定理を全く一般の場合にまで拡張することに成功した。この他に,加藤は,代数曲線論的手法を用いて,閉リーマン面上の高次数の線束について詳しく調べ,さらに,マルテンスの定理を拡張した。また,中内は,n-球面からリーマン多様体の中へのn-調和写像が存在することを証明し,この結果を応用して,最近のエルワージー・ローゼンバーグの定理の簡単な別証明を与えた。