Research on holomorphic mappings of Riemann surfaces --- Geometry of spaces of continuations of Riemann surfaces and applications

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Ｒを把手の数，すなわち種数ｇが有限な開リーマン面とする。Ｒを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体の集合をタイヒミュラー空間の枠組みで考察し，多くの成果を得てきた。では，ｇより大きな整数Ｇを選び，Ｒを等角に埋め込ませる種数Ｇの閉リーマン面全体の集合はどのような性質をもつであろうか。この問題を考察するのにふさわしい枠組みの構成を試みた。タイヒミュラー空間の点はリーマン面ではなくリーマン面と写像の組の同値類であるため，ＲからＳの中への連続写像の意味を明確にするために，以前の研究においては，種数ｇのリーマン面ＲとＲの把手に印を付けるある種の写像の組全体を考え，それらの同値類を対象とし，適切に定義された連続写像を射とする圏を導入した。種数ｇのタイヒミュラー空間はそれの充満部分圏として規定される。この考え方を一般化し，種数Ｇのリーマン面ＲとＲのＧ個の把手の中からｇ個を選んで印を付ける写像の組から圏を構成した。この圏は完備擬距離付け可能かつ可分である。擬距離０の元を同一視することにより，可分な完備距離付け可能空間Ｆが得られる。Ｆは圏ではないが，研究を展開する枠組みとしてふさわしいように思われる。Ｆの元のうち，種数Ｇの閉リーマン面から得られる点の集まりをＴとかく。Ｇがｇに等しいとき，Ｔは種数Ｇのタイヒミュラー空間と同相である。一般の場合，Ｔの普遍被覆空間は種数Ｇのタイヒミュラー空間になり，被覆写像が正則になるようにＴに複素構造を導入することが示された。