カオス的遍歴の数学的構造

有限次元力学系のカオス的遍歴そのものについては成果公表にまで至らなかったが、より複雑な挙動を示す「関数力学系」と呼ぶ無限次元力学系に関して、本格的な研究の糸口を与える数学的構造を発見し、基礎的な成果を挙げることができた。「関数力学系」とは、1次元写像に値をとる力学系f→(1-ε)f+εfofであり、金子-片岡により自己参照系のモデルとして提唱され、その漸近挙動については興味深いシミュレーション結果が観察されていた。この力学系について以下の数学的結果を得た。(i)1次元写像の不動点集合、およびその逆像は、時間に関して単調増大であること。(ii)区間のある空でない部分集合Ω上では、長時間極限が存在して、f=fofを満たす階段関数となること、およびその集合Ωの特徴付け。(iii)ある自然な条件のもとで、Ωの外に部分集合Xが存在し、X上での部分力学系は"参照力学系"g(x)=(1-ε)x+εf(x)に駆動された通常の力学系と一致すること(その典型例はNagumo-Sato力学系)。(iv)さらに、その外に部分集合が順次、存在し、それ以前の段階で得られた部分力学系に駆動される部分力学系という階層構造が(適当な条件のもとで)存在すること。以上により、金子-片岡がI,II、III型固定点と呼んだものについては数学としての解析が完了した。なお、(iv)の詳しい構造、とくに「もつれる場合」の解明は今後の課題である。これらの成果は、高橋、金子、片岡、行木の共著論文"Function Dynamics"として、International Workshopon Chaos and Nonlinear Dynamics in Asuka(2000年10月)にて口頭発表、近く応用数班学会欧文誌JJIAMに掲載される。

有限次元力学系のカオス的遍歴そのものについては成果公表にまで至らなかったが、より複雑な挙動を示す「関数力学系」と呼ぶ無限次元力学系に関して、本格的な研究の糸口を与える数学的構造を発見し、基礎的な成果を挙げることができた。「関数力学系」とは、1次元写像に値をとる力学系f→(1-ε)f+εfofであり、金子-片岡により自己参照系のモデルとして提唱され、その漸近挙動については興味深いシミュレーション結果が観察されていた。この力学系について以下の数学的結果を得た。(i)1次元写像の不動点集合、およびその逆像は、時間に関して単調増大であること。(ii)区間のある空でない部分集合Ω上では、長時間極限が存在して、f=fofを満たす階段関数となること、およびその集合Ωの特徴付け。(iii)ある自然な条件のもとで、Ωの外に部分集合Xが存在し、X上での部分力学系は"参照力学系"g(x)=(1-ε)x+εf(x)に駆動された通常の力学系と一致すること(その典型例はNagumo-Sato力学系)。(iv)さらに、その外に部分集合が順次、存在し、それ以前の段階で得られた部分力学系に駆動される部分力学系という階層構造が(適当な条件のもとで)存在すること。以上により、金子-片岡がI,II、III型固定点と呼んだものについては数学としての解析が完了した。なお、(iv)の詳しい構造、とくに「もつれる場合」の解明は今後の課題である。これらの成果は、高橋、金子、片岡、行木の共著論文"Function Dynamics"として、International Workshopon Chaos and Nonlinear Dynamics in Asuka(2000年10月)にて口頭発表、近く応用数班学会欧文誌JJIAMに掲載される。