タイヒミュラー空間の複素解析的埋めこみの解析的及び幾何学的性質の研究

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今年度も昨年度同様に、タイヒミュラー空間の複素解析的埋め込みの境界の幾何について研究を続けてきた。特に複素解析的埋め込みとしてクライン群を一意化しているような変数付けによって得られるものに関して調べている。またMcMullenの予想との関連から、現在は有界幾何を持つクライン群の対応する境界点に関して調べている。境界の幾何を知ることは内点からの点列によりクライン群がどのような"潰れ方"をするかを調べることが重要である。この潰れ方を数学的に表現するために、今年度は有界幾何を持つようなクライン群の極限集合に幾何について研究した。まず、有界幾何を持つような全退化群の『内点』を定義して、その2つ内点はその内点の集合内で擬弧(quasi-arc)で結ぶことが出来ることを証明した。内点には自然にR樹の構造が入ることが知られていて、その弧はその構造の下で測地線になることが分かるので、このことはそのような全退化群の極限集合がある程度良い幾何的性質を持つことを意味する。また、現在投稿中の結果であるが、位相的素直な有界幾何を持つクライン群に対しては、semi-conjugacyに関するThurstonの予想は正しいことを証明した。これはそのようなクライン群の極限集合が連結ならば弧状連結を意味する。極限集合は不連続領域の補集合であり、不連続領域の構造はAhlforsの有限性定理より良く知られているので、そのようなクライン群の極限集合の位相的性質は完全に把握されたことになる。