Geometric structures and combinatorial structures of 3-dimensional manifolds

（１）Agolが2001年にアナウンスした次の定理に完全な証明を与えた。「定理：双曲２橋絡み目群のメリディアン対が上方メリディアン対、下方メリディアン対どちらにも同値でないならば、それが生成する部分群は幾何学的有限な自由群である。」証明の鍵は、I. Aitchison, D. Thurston、横田佳之により構成されていた交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割である。この立方体分割は、交代絡み目の２つのチェッカーボード曲面をハイパー曲面として含み、このことを用いると、双曲的交代絡み目のチェカーボード曲面は擬フックス群を定めることが示される。そのため、絡み目補空間の普遍被覆である３次元双曲空間へのチェカーボード曲面の持ち上げは３次元双曲空間の無限遠境界であるリーマン球面上の円周をその無限遠境界として定める。チェカーボード曲面が交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割のハイパー曲面であることを用いて、このようにして登場する円周達の交差のパターンの情報が得られ、それを用いて与えられたメリディアン対の無限遠リーマン球面への作用を記述し、定理の条件を満たすメリディアン対が幾何学的有限な自由群であることを示すというのがAgolのアイデアである。このアイデアを実現する厳密な議論を与えたのが、今回の成果である。（２）上述の結果を、完備双曲的３次元多様体の基本群Gの２つの放物的変換で生成される部分群Hに対するものに一般化し、次のいずれかが成立することを証明した。(a) Hは自由群（Gが幾何学的有限である場合は、H も幾何学的有限）。(b) G=Hは２橋絡み目絡み目群。(c) Hは２成分２橋絡み目群、Gは射影空間内の有理絡み目の補空間の基本群でHはGの指数２の部分群。以上は坂井駿介との共同研究であり、研究成果を纏めた論文を執筆し、arXivに投稿後意見を待って、改訂版を専門誌に投稿した。

（１）Agolが2001年にアナウンスした次の定理に完全な証明を与えた。「定理：双曲２橋絡み目群のメリディアン対が上方メリディアン対、下方メリディアン対どちらにも同値でないならば、それが生成する部分群は幾何学的有限な自由群である。」証明の鍵は、I. Aitchison, D. Thurston、横田佳之により構成されていた交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割である。この立方体分割は、交代絡み目の２つのチェッカーボード曲面をハイパー曲面として含み、このことを用いると、双曲的交代絡み目のチェカーボード曲面は擬フックス群を定めることが示される。そのため、絡み目補空間の普遍被覆である３次元双曲空間へのチェカーボード曲面の持ち上げは３次元双曲空間の無限遠境界であるリーマン球面上の円周をその無限遠境界として定める。チェカーボード曲面が交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割のハイパー曲面であることを用いて、このようにして登場する円周達の交差のパターンの情報が得られ、それを用いて与えられたメリディアン対の無限遠リーマン球面への作用を記述し、定理の条件を満たすメリディアン対が幾何学的有限な自由群であることを示すというのがAgolのアイデアである。このアイデアを実現する厳密な議論を与えたのが、今回の成果である。（２）上述の結果を、完備双曲的３次元多様体の基本群Gの２つの放物的変換で生成される部分群Hに対するものに一般化し、次のいずれかが成立することを証明した。(a) Hは自由群（Gが幾何学的有限である場合は、H も幾何学的有限）。(b) G=Hは２橋絡み目絡み目群。(c) Hは２成分２橋絡み目群、Gは射影空間内の有理絡み目の補空間の基本群でHはGの指数２の部分群。以上は坂井駿介との共同研究であり、研究成果を纏めた論文を執筆し、arXivに投稿後意見を待って、改訂版を専門誌に投稿した。