複素多様体上のBergman空間の構造決定のための微分幾何学的方法

确定复流形上伯格曼空间结构的微分几何方法

• 批准号: 02F00300
• 负责人: 大沢 健夫
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02F00300/
• 关键词: Bergman核; 多重劣調和関数; モデル領域; ニュートン多面体; Bergman計量; 超凸多様体; 完備ケーラー多様体; Bergman空間; 再生核; 正直線束

複素多様体の微分幾何的特性がBergman核にどう反映するかを中心に研究し,主として以下の結果を得た.1)Bergman核の無限遠における挙動について(陳伯勇・神本丈・大沢による共同研究):C^n上の非負多重劣調和関数pに対して定まる擬凸領域Ω={(z,w)∈C^<n+1>|Imw>p(z)}をモデル領域と呼ぶ.モデル領域Ω上のBergman核関数K_Ωについて次が得られた.定理1.<lim>___<|z|→∞>p(z)=+∞ならば,(i)K_Ω>0であり,複素直線{(0,w)∈C^<n+1>|w∈C}の管状近傍T上で,Imw→+∞のときK_Ω((z,w))=0((Imw)^<-2>)(ii)Ωは完備なBergman計量をもつ.定理2.p(z)=f(|z_1|,【triple bond】,|Z_n|)f=Σ__<有限和>c_αx^α(c_α【greater than or equal】0)かつ<lim>___<|x|→∞>f(x)=+∞ならば,K_Ω((z,w))【approximately equal】(Imw)^<-2-2/d_f>(logImw)^<1-m_f>かつds^2_Ω((z,w));X)【approximately equal】(|X_<n+1>|^2)/((Imw)^2)+Σ^^n__<j=1>(|X_j|^2)/((Imw)^<2/d_f^<(j)>-2/d_f>(logImw)^<m_f^<(j)>-m_f>)(Imw→∞,(z,w)∈T)ただしds^2_ΩはΩのBergman計量,X=(X_1,X_2,【triple bond】,X_<n+1>)であり,d_f,m_f,d_f^<(j),m_f^<(j)>はfのニュートン多面体に付随する数(詳細略)である.2)Bergman計量の完備性について(陳):複素多様体Mが強多重劣調和な有界尽去関数(bounded exhaustion function)をもつとき,Mは超凸であるという.[定理.超凸多様体は完備なBergman計量をもつ.]この結果はBergman計量の完備性の問題に対するこれまでの結果を包括しており,最終定理の性格をもっている.

1)Bergman kernel at infinity (Chen Boyong, Shen Mozhang, Da Zhe): Nonnegative multiple inferiority harmonic correlation p on C^n ={(z,w)∈C^<n+1>| Imw>p(z)} Bergman's kernel K_Ω on the domain Ω. Theorem 1. <lim>___&lt;|z| →∞&gt;p(z)=+∞ &lt;$&lt;$,(i)K_Ω&gt;0 &lt;$, complex prime line {(0,w)∈C^&lt;n+1&gt;| w∈C} n tubular near-T,Imw→+∞ K_Ω((z,w))=0((Imw)^<-2>)(ii)Ω Bergman metric. p (z)=f(|z_1|,【triple bond】,| Z_n| f=Σ__&lt;finite sum&gt;c_αx^α(c_α [greater than or equal] 0)_<lim>_&lt;|x| →∞&gt;f(x)=+∞ならば,K_Ω((z,w))【approximately equal】(Imw)^&lt;-2-2/d_f&gt;(logImw)^<1-m_f>かつds^2_Ω((z,w));X)【approximately equal】(|X_&lt;n+1&gt;|^2)/((Imw)^2)+Σ^^n__&lt;j=1&gt;(|X_j| ^2)/((Imw)^&lt;2/d_f^&lt;(j)&gt;-2/d_f&gt;(logImw)^&lt;m_f^&lt;(j)&gt;-m_f&gt;)(Imw→∞,(z,w)∈T) DS ^2_Ω Ω Bergman measurement,X=(X_1, X_2,[triple bond],X_&lt;n+1&gt;),d_f,m_f,d_f^&lt;(j),m_f^&lt;(j)&gt; f [Theorem. Hyperconvex Polymorph Complete Bergman Metrology.] This result is related to Bergman's metric completeness problem, including the final theorem's character.

项目成果

Chen, B.-Y., Kamimoto, J., Ohsawa, T.: "Behavior of the Bergman kernel at infinity"Math.Zeit.. 発表予定(to appear).

Chen, B.-Y.、Kamimoto, J.、Ohsawa, T.：“无穷大伯格曼核的行为”Math.Zeit.. 出现。

Chen, B.-Y.: "Bergman completeness of hyperconvex manifolds"Nagoya Math.J.. 発表予定(to appear).

Chen, B.-Y.：“超凸流形的伯格曼完备性”Nagoya Math.J. 出现。