Stanley-Reisner環の理論に現れるKoszul双対性の研究

Stanley-Reisner环理论中Koszul对偶性的研究

• 批准号: 13740011
• 负责人: 柳川 浩二
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740011/
• 关键词: Stanley-Reisner環; アファイン半群環; squarefree加群; 尊来圏; 局所双対性; Koszul双対性; 層; ポアンカレーヴェルディエ双対性; 単項式; incidence algebra; Cohen-Macaulay環

私は,数年前,組合せ論的可換代数の基本的な概念である「Stanley-Reisenr環」を一般化して,「squarefree加群」を定義した.この概念は,当該分野の道具の一つとして定着しつつある.squarefree加群の有界な導来圏には,3つの「双対性」が存在し,3次対称群の3つの互換の如く作用している.この現象は,Koszul双対性(特に,Bernstein-Gel'fand-Gel'fand対応)と関連している.この研究成果は,Journal of the Mathematical Society of Japanへの掲載が決定している"Derived Category of Squarefree Modules and Local Cohomology with Monomial Ideal Support"にまとめた.(この論文の第一稿は,平成12年度に投稿したが,レフェリーの助言もあり,平成13年度に全面的に改定し,結果を大幅に強めた.また,14年度にも若干の改良を行った.この意味で,この論文は13-14年度の成果でもある.)Stanley-Reisener環が,対応する単体的複体の位相幾何学的性質を様々に反映しているのに対し,その一般化であるsquarefree加群の幾何学的な意味は,暫くはっきりしなかったが,平成14年度の研究で,(n変数多項式環上の)squarefree加群から,(n-1)次元閉球体上の層が構成でき,自然な(スキーム論における"Proj"と類似の)理論が展開できることが分かった.この文脈では,位相幾何学のポアンカレ・ヴェルディエ双対性と,可換代数の局所双対性が等価となる.この研究成果は,投稿中のプレプリント"Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincare-Verdier duality"にまとめた.

A few years ago, the basic concept of commutative algebras in combinatorial theory was generalized to "Stanley-Reisenr ring" and "square free addition group" was defined. The concept of this concept is that when the property of the field is fixed, the squarefree addition group is bounded, the 3-fold "bi-duality" exists, and the 3-fold symmetry group is interchanged. This phenomenon is related to the Koszul bipolarity (especially Bernstein-Gel'fand-Gel'fand bipolarity). The results of this research were published in the Journal of the Mathematical Society of Japan, entitled "Derived Category of Squarefree Modules and Local Cohomology with Individual Ideal Support." (The first draft of this paper was submitted in 2012 and revised in 2013. In 2014, several improvements were made. The meaning of, Papers 13-14 year.) Stanley-Reisener rings reflect the properties of phase geometry of complexes of single entities, and generalize the geometric implications of squarefree addition groups.(n-1)-dimensional closed sphere. The theory of nature expands. In this context, phase geometry is bi-symmetric, commutative algebra is bi-symmetric. This research achievement is, in the submission, the article "Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincare-Verdier duality".

项目成果

Vic Reiner, Volkmar Welker, Kohji Yanagawa: "Local Cohomology of Stanley-Reisner Rings with supports in General Monomial Ideals"J. Algebra. 244. 706-736 (2001)

Vic Reiner、Volkmar Welker、Kohji Yanakawa：“支持一般单项式理想的 Stanley-Reisner 环的局部上同调”J.

Kohji Yanagawa: "Cohen-Macaulay initial ideals of simplicial toric ideals"Communications in Algelra. (発表予定).

柳川浩司：“科恩-麦考利简单环面理想的初始理想”阿尔杰拉通讯（待提交）。

Kohji Yanagawa: "Sheaves on Finite Postes and Modules over Normal Semigroup Rings"J. Pure and Appl. Algebra. 161. 341-366 (2001)

Kohji Yanakawa：“普通半群环上的有限柱和模上的滑轮”J。

Kohji Yanagawa: "Squarefree Modules and Local Cohomology Modules at Monomial Ideals"Local Cohomology and Its Applications (G. Lyubeznik, ed.), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 226. 207-231 (2002)

Kohji Yanakawa：“单项式理想下的无平方模和局部上同调模”局部上同调及其应用（G. Lyubeznik，编辑），纯粹和应用的讲义。

Kohji Yanagawa: "Bass numbers of local cohomology modules with supports in monomial ideals"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 131. 45-60 (2001)

柳川浩司：“单项式理想支持下的局部上同调模的低音数”剑桥哲学会数学会刊。