有限群と代数の表現に関するカテゴリー論的研究

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研究目的「(1)Crossed Burnside ringの正標数体係数のときのべき等元公式を示すこと」遂行のために,「小さな有限群に対し,標数0の場合についてそのべき等元の計算」を行った.有限群計算ソフトGAP-Groups, Algorithms, and Programming, Version 4, Aachen, St. Andrews, 1999(http://www-gap.dcs-st-and.ac.uk/gapという強力な道具を用いることにより,7次の交代群までの標数2および3の場合のべき等元の計算ができた.計算結果をそのまま論文という形で公表せずに,さらに,その結果に考察を加えた上で論文"Brauer quotients of a crossed Burnside functor"を公表することができた.この論文は2001年に出版された"Crossed Burnside rings I. Fundamental Theorems"における主定理の別証明も含む結果である.しかし,最終的な目標であるところの「正標数の体の上のべき等元公式」については,現在論文執筆中である.研究目的「(2)B型,D型のWeyl群に対してそのモジュラー指標環の係数環が正標数の体の場合に半単純となることを一般バーンサイド環を用いて示すこと」遂行のために「B型,D型の位数の小さなWeyl群について,実際にモジュラー指標環を構成」した.GAPのシェアパッケージ"CHEVIE"を利用して位数の小さい場合に構成することができた.この結果は,平成13年8月にイギリス,オックスフォード大学で行われた研究集会"Groups St. Andrews in Oxford 2001"で講演した.現在その報告集に掲載するため,査読中である.Crossed Burnside rings, generalized Burnside ringsを基礎の係数環としてとらえることができる,マッキー関手の理論に対して,一つの有限群に限定せず,有限群全体の圏からの関手とみて一般化したものをglobally defined Mackey functorという.これを道具として研究に用いるために,研究した結果を論文"Globally defined Mackey functorsについて"として公表することができた.また,平成14年6月にアメリカ,マウントホリヨーク大学でアメリカ数学会のサマーリサーチインスチチュートとして行われた研究集会"Groups, Representation and Cohomology"において, crossed Burnside ring Mackey functorsに関する研究の成果を講演した.